Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 Di 31.05.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo,
ich habe gegeben:
y''+4y'+5y=0
mit y(0)=pi und y'(0)=0
ich habe als erstes die charakteristische Gleichung
gelöst und bekomme -2 [mm] \pm [/mm] j
daraus konnte ich meine allgemeine Lösung bestimmen:
[mm] y(x)=e^{-2x}*(C_{1}*cos(x)+C_{2}*sin(x))
[/mm]
Wie löse ich die Anfangswertprobleme bei DGL's 2. Ordnung?
Ich hatte das bisher nur bei DGL's 1.Ordnung.
Vielen Dank für die Hilfe
Kruder77
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Hallo,
> Hallo,
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> ich habe gegeben:
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> y''+4y'+5y=0
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> mit y(0)=pi und y'(0)=0
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> ich habe als erstes die charakteristische Gleichung
>
> gelöst und bekomme -2 [mm]\pm[/mm] j
>
> daraus konnte ich meine allgemeine Lösung bestimmen:
>
> [mm]y(x)=e^{-2x}*(C_{1}*cos(x)+C_{2}*sin(x))[/mm]
>
> Wie löse ich die Anfangswertprobleme bei DGL's 2. Ordnung?
> Ich hatte das bisher nur bei DGL's 1.Ordnung.
Setze in die allgemeine Lösung und deren Ableitung die Bedingungen für das Anfangswertproblem ein.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Di 31.05.2005 | | Autor: | kruder77 |
hmmm,
dann komme ich auf:
[mm] y(0)=-C_{1}*e^{-2*\pi}
[/mm]
[mm] y'(0)=-(2*C_{1}-C_{2})
[/mm]
War das jetzt schon alles? Oder muss ich noch die Konstanten bestimmen? Oder muss ich die beiden Gleichungen nun wieder in die Ursprungsgleichung einsetzen?
Grüße Kruder77
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Hallo,
> [mm]y(0)=-C_{1}*e^{-2*\pi}[/mm]
die Gleichung stimmt wohl nicht ganz.
> [mm]y'(0)=-(2*C_{1}-C_{2})[/mm]
>
> War das jetzt schon alles? Oder muss ich noch die
> Konstanten bestimmen? Oder muss ich die beiden Gleichungen
> nun wieder in die Ursprungsgleichung einsetzen?
Die Konstanten [mm]C_{1}[/mm] und [mm]C_{2}[/mm] sind noch zu bestimmen. Dann werden diese Konstanten in die Ursprungsgleichung eingesetzt, und erhält dann die Lösung für diese Anfangswertproblem.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Di 31.05.2005 | | Autor: | kruder77 |
ja war falsch...
stimmt folgendes?
[mm] y(0)=-C_{1}*e^{-2\pi}= \pi \to C_{1}= -\pi*e^{2\pi}
[/mm]
[mm] y'(0)=(2*C_{1}-C_{2})*e^{-2\pi}=0 \to C_{2}=-2\pi*e^{2\pi}
[/mm]
[mm] y(x)=e^{-2x}*(-\pi*e^{2\pi}*cos(x)-2\pi*e^{2\pi}*sin(x))
[/mm]
[mm] y(x)=e^{2\pi-2x}*(cos(x)+2sin(x))*(-\pi)
[/mm]
Grüße Kruder77
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Guten Morgen Kruder!
> [mm]y(0)=-C_{1}*e^{-2\pi}= \pi \to C_{1}= -\pi*e^{2\pi}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wo kommte denn hier das Minuszeichen her?
Außerdem mußt Du bei der e-funktion doch auch für $x \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] einsetzen:
[mm] $y(\red{0}) [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{e^{-2*\red{0}}}_{= \ 1}* \left[C_1*\underbrace{\cos(0)}_{= \ 1} + C_2*\underbrace{\sin(0)}_{= \ 0} \right] [/mm] \ = \ [mm] \pi$ $\gdw$ $C_1 [/mm] \ = \ [mm] \pi$
[/mm]
> [mm]y'(0)=(2*C_{1}-C_{2})*e^{-2\pi}=0 \to C_{2}=-2\pi*e^{2\pi}[/mm]
Hier wie oben $x \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] in die e-Funktion einsetzen.
Ich erhalte (bitte nachrechnen!): [mm] $C_2 [/mm] \ = \ [mm] 2*C_1 [/mm] \ = \ [mm] 2*\pi$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:03 Mi 01.06.2005 | | Autor: | kruder77 |
Ja, Du hast Recht...
Das Minus kam durch das falsche Einsetzen, ich habe anstatt [mm] y(0)=\pi [/mm] nämlich [mm] y(\pi)=\pi [/mm] eingesetzt gehabt....
Komme nun auf das selbe Ergebnis!
Vielen Dank
Kruder77
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