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| Aufgabe | | Man löse die DGL y' - [mm] \bruch{1 }{x+1}y [/mm] = x für das Anfangswertproblem y(0) = 1. Hinweis x = (x+1) -1 |
Hallo,
ich habe eine kleines Problem mit meiner Lösung, da ich nicht sicher bin, ob sie richtig ist. Für eine kleine Korrektur, wäre ich sehr dankbar! Vielen Dank!
Erster Schritt:
[mm] \mu [/mm] = [mm] e^{\integral_{0}^{x}{- \bruch{1 }{x+1} dx}} [/mm] = [mm] e^{-ln(x+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x+1}
[/mm]
danach:
z' = [mm] b*\mu [/mm] = [mm] \bruch{x}{x+1}
[/mm]
z = [mm] \integral_{0}^{x}{ \bruch{x }{x+1} dx} [/mm] = xln(x+1) = [mm] (x+1)^{x}
[/mm]
dritter schritt:
(z + y(0)) * [mm] \bruch{1}{\mu} [/mm] = [mm] ((x+1)^{x} [/mm] + 1) * [mm] (x+1)^{-1} [/mm] = [mm] (x+1)^{x-1} [/mm] + [mm] (x+1)^{-1}
[/mm]
kann das stimmen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 So 15.06.2008 | | Autor: | Vreni |
> Man löse die DGL y' - [mm]\bruch{1 }{x+1}y[/mm] = x für das
> Anfangswertproblem y(0) = 1. Hinweis x = (x+1) -1
> Hallo,
> ich habe eine kleines Problem mit meiner Lösung, da ich
> nicht sicher bin, ob sie richtig ist. Für eine kleine
> Korrektur, wäre ich sehr dankbar! Vielen Dank!
>
Hallo,
hier hat sich schon mal ein kleiner Vorzeichenfehler eingeschlichen:
> Erster Schritt:
> [mm]\mu[/mm] = [mm]e^{\integral_{0}^{x}{\red{+} \bruch{1 }{x+1} dx}}[/mm] =
> [mm]e^{\red{+}ln(x+1)}[/mm] = [mm] \red{x+1}
[/mm]
>
> danach:
>
> z' = [mm]b*\mu[/mm] = [mm]\bruch{x}{x+1}[/mm]
> z = [mm]\integral_{0}^{x}{ \bruch{x }{x+1} dx}[/mm] = xln(x+1) =
> [mm](x+1)^{x}[/mm]
>
ob dein Ansatz jetzt genau stimmt, kann ich nicht sagen, da ja die vorherige Teillösung falsch ist und ich normalerweise einen etwas anderen Lösungsweg gehe (ist halt Gewohnheits- und Geschmacksfrage), aber die Integration ist auf jeden Fall falsch durchgeführt, du kannst nicht einfach nur den Nenner integrieren:
[mm] \int_{0}^{x}{ \frac{s }{s+1} ds}=\int_0^x{1-\frac{1}{s+1}ds}=x-ln{(x+1)}
[/mm]
Im Übrigen kannst du die Lösung einer DGL relativ einfach auf Richtigkeit überprüfen, indem du die gefundene Funktion ableitetest, Ableitung und Funktion in die Gleichung einsetzt und schaust, ob das "Richtige" rauskommt bzw. ob sich ein Widerspruch ergibt.
Gruß,
Vreni
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> > Man löse die DGL y' - [mm]\bruch{1 }{x+1}y[/mm] = x für das
> > Anfangswertproblem y(0) = 1. Hinweis x = (x+1) -1
> > Hallo,
> > ich habe eine kleines Problem mit meiner Lösung, da ich
> > nicht sicher bin, ob sie richtig ist. Für eine kleine
> > Korrektur, wäre ich sehr dankbar! Vielen Dank!
> >
>
> Hallo,
> hier hat sich schon mal ein kleiner Vorzeichenfehler
> eingeschlichen:
> > Erster Schritt:
> > [mm]\mu[/mm] = [mm]e^{\integral_{0}^{x}{\red{+} \bruch{1 }{x+1} dx}}[/mm]
> =
> > [mm]e^{\red{+}ln(x+1)}[/mm] = [mm]\red{x+1}[/mm]
> >
> > danach:
> >
> > z' = [mm]b*\mu[/mm] = [mm]\bruch{x}{x+1}[/mm]
> > z = [mm]\integral_{0}^{x}{ \bruch{x }{x+1} dx}[/mm] = xln(x+1) =
> > [mm](x+1)^{x}[/mm]
> >
> ob dein Ansatz jetzt genau stimmt, kann ich nicht sagen, da
> ja die vorherige Teillösung falsch ist und ich
> normalerweise einen etwas anderen Lösungsweg gehe (ist halt
> Gewohnheits- und Geschmacksfrage), aber die Integration ist
> auf jeden Fall falsch durchgeführt, du kannst nicht einfach
> nur den Nenner integrieren:
> [mm]\int_{0}^{x}{ \frac{s }{s+1} ds}=\int_0^x{1-\frac{1}{s+1}ds}=x-ln{(x+1)}[/mm]
>
> Im Übrigen kannst du die Lösung einer DGL relativ einfach
> auf Richtigkeit überprüfen, indem du die gefundene Funktion
> ableitetest, Ableitung und Funktion in die Gleichung
> einsetzt und schaust, ob das "Richtige" rauskommt bzw. ob
> sich ein Widerspruch ergibt.
>
> Gruß,
> Vreni
Danke für deine schnelle Antwort Vreni,
ja mit dem minus war ich mir nicht sicher, habe es auch mal mit richtigem vorzeichen versucht, d.h. aslo ich muss das a(x) unabhängig vorm vorzeichen integrieren?
ich hab nun mal weiter gemacht.
[mm] \mu [/mm] = x+1
z' = (x+1)x = [mm] x^{2} [/mm] + x
z = [mm] \integral_{0}^{x}{x^{2} + x dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}x^{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}x^{2}
[/mm]
(z+y0) * [mm] \bruch{1}{\mu } [/mm] = [mm] (\bruch{1}{3}x^{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}x^{2} [/mm] +1) * [mm] (x+1)^{-1}
[/mm]
kann man das noch vereinfachen. Den Hinweis x =( x +1 ) -1 wo könnte man den berücksichtigen?
Vielen Dank und Grüße
Matthias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 So 15.06.2008 | | Autor: | Vreni |
> > > Man löse die DGL y' - [mm]\bruch{1 }{x+1}y[/mm] = x für das
> > > Anfangswertproblem y(0) = 1. Hinweis x = (x+1) -1
> > > Hallo,
> > > ich habe eine kleines Problem mit meiner Lösung, da
> ich
> > > nicht sicher bin, ob sie richtig ist. Für eine kleine
> > > Korrektur, wäre ich sehr dankbar! Vielen Dank!
> > >
> >
> > Hallo,
> > hier hat sich schon mal ein kleiner Vorzeichenfehler
> > eingeschlichen:
> > > Erster Schritt:
> > > [mm]\mu[/mm] = [mm]e^{\integral_{0}^{x}{\red{+} \bruch{1 }{x+1} dx}}[/mm]
> > =
> > > [mm]e^{\red{+}ln(x+1)}[/mm] = [mm]\red{x+1}[/mm]
> > >
> > > danach:
> > >
> > > z' = [mm]b*\mu[/mm] = [mm]\bruch{x}{x+1}[/mm]
> > > z = [mm]\integral_{0}^{x}{ \bruch{x }{x+1} dx}[/mm] =
> xln(x+1) =
> > > [mm](x+1)^{x}[/mm]
> > >
> > ob dein Ansatz jetzt genau stimmt, kann ich nicht sagen, da
> > ja die vorherige Teillösung falsch ist und ich
> > normalerweise einen etwas anderen Lösungsweg gehe (ist halt
> > Gewohnheits- und Geschmacksfrage), aber die Integration ist
> > auf jeden Fall falsch durchgeführt, du kannst nicht einfach
> > nur den Nenner integrieren:
> > [mm]\int_{0}^{x}{ \frac{s }{s+1} ds}=\int_0^x{1-\frac{1}{s+1}ds}=x-ln{(x+1)}[/mm]
>
> >
> > Im Übrigen kannst du die Lösung einer DGL relativ einfach
> > auf Richtigkeit überprüfen, indem du die gefundene Funktion
> > ableitetest, Ableitung und Funktion in die Gleichung
> > einsetzt und schaust, ob das "Richtige" rauskommt bzw. ob
> > sich ein Widerspruch ergibt.
> >
> > Gruß,
> > Vreni
>
> Danke für deine schnelle Antwort Vreni,
>
> ja mit dem minus war ich mir nicht sicher, habe es auch mal
> mit richtigem vorzeichen versucht, d.h. aslo ich muss das
> a(x) unabhängig vorm vorzeichen integrieren?
Das Vorzeichen spielt schon eine Rolle, du musst dir nur im Klaren darüber sein, in welcher Form du deine DGL dastehen hast:
Dein [mm] \mu [/mm] ist ja die Lösung der homogenen DGL
[mm] y'-\frac{y}{x+1}=0,
[/mm]
die kannst du auch schreiben als
[mm] y'=\frac{y}{x+1}
[/mm]
d.h. sie hat die Form y'=a(x)*y
Und diese DGL kannst du (im eindimensionalen, aber ich nehme an ihr habt vorerst nur solche Fälle) lösen durch:
[mm] y(x)=y(x_0)*e^{\int_{x_0}^x{a(s) ds}}
[/mm]
Bei dir ist [mm] x_0=0 [/mm] und [mm] y(x_0)=1 [/mm] gegeben (es könnten aber auch andere Anfangsbedingungen sein, z.B. y(5)=3).
in deinem Fall ist [mm] a(x)=\red{+}\frac{1}{x+1}, [/mm] deswegen das Vorzeichen.
>
> ich hab nun mal weiter gemacht.
>
> [mm]\mu[/mm] = x+1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> z' = (x+1)x = [mm]x^{2}[/mm] + x
>
Du hast in deinem letzten Post geschrieben [mm] z'=\mu*b.
[/mm]
Ich denke inzwischen, dass du hier sowas wie "Variation der Konstanten" machst (unter dem Namen kenne ich es), um eine spezielle Lösung der DGL mit der Störfunktion b zu erhalten. Kann es sein, dass es eigentlich heißen müsste:
[mm] z'=\frac{\mu}{b}
[/mm]
Und dann weiter unten: [mm] y(x)=(y(0)+z)*\mu [/mm] und nicht [mm] *\frac{1}{\mu}?
[/mm]
Dann würde das für mich wesentlich mehr Sinn ergeben.
Und man muss so beim Berechnen von z auch den Tipp verwenden (siehe meine Anmerkung zum Integral oben)
Gruß,
Vreni
> z = [mm]\integral_{0}^{x}{x^{2} + x dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}x^{3}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2}x^{2}[/mm]
>
> (z+y0) * [mm]\bruch{1}{\mu }[/mm] = [mm](\bruch{1}{3}x^{3}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2}x^{2}[/mm] +1) * [mm](x+1)^{-1}[/mm]
>
> kann man das noch vereinfachen. Den Hinweis x =( x +1 ) -1
> wo könnte man den berücksichtigen?
>
> Vielen Dank und Grüße
>
> Matthias
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