Anfangswertaufgabe lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Sa 23.06.2018 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | Bestimme die allgemeine Lösung der Anfangswertaufgabe
y'(t) = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }y(t) [/mm] ; y(0) = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] |
Hallo,
hier einmal mein Lösungsansatz:
Ich habe zunächst die Eigenwerte bestimmt mit:
[mm] det(A-\lambda E_{3}) [/mm] = [mm] \vmat{ 1-\lambda & 1 & 0 \\ 4 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 3-\lambda }
[/mm]
Hier kam dann [mm] \lambda_{1} [/mm] = 3 , [mm] \lambda_{2} [/mm] = 3 und [mm] \lambda_{3} [/mm] = -1 raus
Für die Bestimmung der Eigenwerte habe ich dann jeweils die o.g. Werte für [mm] \lambda [/mm] eingesetzt:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 3 [mm] (A-\lambda_{1} E_{3}): \pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Mit II + 2I folgt:
[mm] \pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Eigenvektor lautet dann:
[mm] \vec{x}_{1} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \lambda_{2} [/mm] = 3 [mm] (A-\lambda_{2} E_{3}): \pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Mit II + 2I folgt:
[mm] \pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Eigenvektor lautet dann:
[mm] \vec{x}_{2} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \lambda_{3} [/mm] = -1 [mm] (A-\lambda_{3} E_{3}): \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 6 }
[/mm]
Mit II - 2I folgt:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 }
[/mm]
Eigenvektor lautet dann:
[mm] \vec{x}_{3} [/mm] = [mm] \vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Somit lautet die Lösung dann:
y(t) = [mm] c_{1}e^{3t}\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] c_{2}e^{3t}\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] c_{3}e^{-t}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ -1 \\ 0}
[/mm]
Dann noch den Anfangswert mit einbeziehen:
y(0) = [mm] c_{1}e^{3t}\pmat{ \bruch{1}{2}c_{1} & +\bruch{1}{2}c_{2} & -\bruch{1}{2}c_{3} \\ c_{1} & +c_{2} & +c_{3} \\ c_{1} & +c_{2} } [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
An dieser Stelle verstehe ich dann nicht, wie ich "vernünftig" auflösen kann!?
Könntet ihr mit da einen Tipp geben?
Ist meine Lösung ansonsten soweit in Ordnung?
Vielen Dank für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Sa 23.06.2018 | | Autor: | Infinit |
Hallo Dom_89,
für die Anfangsbedingung gilt natürlich [mm] t = 0 [/mm], die Exponentialfunktionen liefern alle den Wert 1 und Du hast drei lineare Gleichungen für drei Unbekannte.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Sa 23.06.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
danke für die Antwort!
Mein bisheriger Ansatz:
III
[mm] c_{1}+c_{2} [/mm] = 1
II
[mm] c_{1}+c_{2}+c_{3} [/mm] = 0
[mm] c_{1}+c_{2} [/mm] = - [mm] c_{3}
[/mm]
1 = [mm] -c_{3}
[/mm]
-1 = [mm] c_{3}
[/mm]
I
[mm] \bruch{1}{2}c_{1}+\bruch{1}{2}c_{2}-\bruch{1}{2}c_{3} [/mm] = 2
[mm] \bruch{1}{2}c_{1}+\bruch{1}{2}c_{2}+\bruch{1}{2} [/mm] = 2
[mm] \bruch{1}{2}c_{1}+\bruch{1}{2}c_{2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
Nun komme ich aber nicht mehr so wirklich weiter :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Sa 23.06.2018 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast 2 gleiche Eigenwerte, dann kannst du nicht einfach 2 mal dasselbe hinschreiben! du kasst ja dein C1 und C2 zusammenfassen und hast nur noch 2 Konstanten! also ist die dritte Lösung t*e^(3t)*EV
Gruß ledum
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 So 24.06.2018 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme die allgemeine Lösung der Anfangswertaufgabe
>
> y'(t) = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }y(t)[/mm] ;
> y(0) = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> Hallo,
>
> hier einmal mein Lösungsansatz:
>
> Ich habe zunächst die Eigenwerte bestimmt mit:
>
> [mm]det(A-\lambda E_{3})[/mm] = [mm]\vmat{ 1-\lambda & 1 & 0 \\ 4 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 3-\lambda }[/mm]
>
> Hier kam dann [mm]\lambda_{1}[/mm] = 3 , [mm]\lambda_{2}[/mm] = 3 und
> [mm]\lambda_{3}[/mm] = -1 raus
>
> Für die Bestimmung der Eigenwerte habe ich dann jeweils
> die o.g. Werte für [mm]\lambda[/mm] eingesetzt:
>
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 3 [mm](A-\lambda_{1} E_{3}): \pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Mit II + 2I folgt:
>
> [mm]\pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Eigenvektor lautet dann:
>
> [mm]\vec{x}_{1}[/mm] = [mm]\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1}[/mm]
Das ist O.K.
>
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = 3 [mm](A-\lambda_{2} E_{3}): \pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Mit II + 2I folgt:
>
> [mm]\pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Eigenvektor lautet dann:
>
> [mm]\vec{x}_{2}[/mm] = [mm]\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1}[/mm]
Hoppla , fällt Dir denn nicht auf, dass Du das oben schon mal hattest ???
Du hast obiges LGS zur Bestimmung der zu [mm] \lambda=3 [/mm] geh. Eigenvektoren nicht zu Ende gerechnet !
Das mach mal jetzt. Zeige: der von [mm] \lambda=3 [/mm] aufgespannte Eigenraum hat die Basis
[mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
>
> [mm]\lambda_{3}[/mm] = -1 [mm](A-\lambda_{3} E_{3}): \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 6 }[/mm]
>
> Mit II - 2I folgt:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 }[/mm]
>
> Eigenvektor lautet dann:
>
> [mm]\vec{x}_{3}[/mm] = [mm]\vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> Somit lautet die Lösung dann:
>
> y(t) = [mm]c_{1}e^{3t}\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1}[/mm] +
> [mm]c_{2}e^{3t}\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1}[/mm] +
> [mm]c_{3}e^{-t}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ -1 \\ 0}[/mm]
Spätestens jetzt hätte Dir auffallen müssen, dass da was schiefgegangen ist. Siehst Du denn nicht, dass nach [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] jeweils die gleiche Funktion steht ?
Die allgemeine Lösung lautet:
y(t) = [mm]c_{1}e^{3t}\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1}[/mm] +[mm]c_{2}e^{3t}\vektor{0 \\ 0\\ 1}[/mm] + [mm]c_{3}e^{-t}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> Dann noch den Anfangswert mit einbeziehen:
>
> y(0) = [mm]c_{1}e^{3t}\pmat{ \bruch{1}{2}c_{1} & +\bruch{1}{2}c_{2} & -\bruch{1}{2}c_{3} \\ c_{1} & +c_{2} & +c_{3} \\ c_{1} & +c_{2} }[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> An dieser Stelle verstehe ich dann nicht, wie ich
> "vernünftig" auflösen kann!?
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> Könntet ihr mit da einen Tipp geben?
>
> Ist meine Lösung ansonsten soweit in Ordnung?
>
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> Vielen Dank für eure Hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 So 24.06.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo fred97,
hier nochmal meine überarbeitete Lösung:
[mm] \lambda_{1}=\lambda_{2} [/mm] = 3 [mm] (A-\lambda_{1} E_{3}): \pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Mit II + 2I folgt:
[mm] \pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
a) Sei [mm] x_{2} [/mm] = 1 [mm] \wedge x_{3} [/mm] = 0
[mm] \vec{x}_{1} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0}
[/mm]
b) a) Sei [mm] x_{2} [/mm] = 0 [mm] \wedge x_{3} [/mm] = 1
[mm] \vec{x}_{2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] \lambda_{3} [/mm] = -1 [mm] (A-\lambda_{3} E_{3}): \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 6 }
[/mm]
Mit II - 2I folgt:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 }
[/mm]
Eigenvektor lautet dann:
[mm] \vec{x}_{3} [/mm] = [mm] \vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0} [/mm]
Dann lautet die allgemeine Lösung:
y(t) = [mm] c_{1}e^{3t}\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] c_{2}e^{3t}\vektor{0 \\ 0\\ 1} [/mm] + [mm] c_{3}e^{-t}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0} [/mm]
Dann noch den Anfangswert mit einbeziehen:
y(0) = [mm] c_{1}e^{3t}\pmat{\bruch{1}{2}c_{1} & -\bruch{1}{2}c_{3} \\ c_{1} & +c_{3} \\ c_{2} } [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Dann die Werte für c bestimmt:
[mm] c_{1} [/mm] = 2
[mm] c_{2} [/mm] = 1
[mm] c_{3} [/mm] = -2
Und diese dann noch entsprechend in die Gleichung eingesetzt.
Ist das so in Ordnung ?
Vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 So 24.06.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred97,
>
> hier nochmal meine überarbeitete Lösung:
>
> [mm]\lambda_{1}=\lambda_{2}[/mm] = 3 [mm](A-\lambda_{1} E_{3}): \pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
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>
> Mit II + 2I folgt:
>
> [mm]\pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
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> a) Sei [mm]x_{2}[/mm] = 1 [mm]\wedge x_{3}[/mm] = 0
>
> [mm]\vec{x}_{1}[/mm] = [mm]\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> b) a) Sei [mm]x_{2}[/mm] = 0 [mm]\wedge x_{3}[/mm] = 1
>
> [mm]\vec{x}_{2}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]\lambda_{3}[/mm] = -1 [mm](A-\lambda_{3} E_{3}): \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 6 }[/mm]
>
> Mit II - 2I folgt:
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> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 }[/mm]
>
> Eigenvektor lautet dann:
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> [mm]\vec{x}_{3}[/mm] = [mm]\vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> Dann lautet die allgemeine Lösung:
>
> y(t) = [mm]c_{1}e^{3t}\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0}[/mm] +
> [mm]c_{2}e^{3t}\vektor{0 \\ 0\\ 1}[/mm] +
> [mm]c_{3}e^{-t}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> Dann noch den Anfangswert mit einbeziehen:
>
> y(0) = [mm]c_{1}e^{3t}\pmat{\bruch{1}{2}c_{1} & -\bruch{1}{2}c_{3} \\ c_{1} & +c_{3} \\ c_{2} }[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Dann die Werte für c bestimmt:
>
> [mm]c_{1}[/mm] = 2
> [mm]c_{2}[/mm] = 1
> [mm]c_{3}[/mm] = -2
>
> Und diese dann noch entsprechend in die Gleichung
> eingesetzt.
>
>
> Ist das so in Ordnung ?
Ja.
>
> Vielen Dank
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Mo 25.06.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Vielen Dank für die Hilfe
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