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| Aufgabe | Löse folgende AWA:
[mm] y'=2^{x+y}, [/mm] y(0)=-2
Für welche x > 0 ist die Lsgfkt. definiert? |
Hey,
ich steck schon im Ansatz fest-wie könnte ich hier anfangen? [mm] y'=2^{x+y} [/mm] integrieren?
Dankeschön
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Di 21.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Löse folgende AWA:
> [mm]y'=2^{x+y},[/mm] y(0)=-2
>
> Für welche x > 0 ist die Lsgfkt. definiert?
> Hey,
>
> ich steck schon im Ansatz fest-wie könnte ich hier
> anfangen? [mm]y'=2^{x+y}[/mm] integrieren?
[mm]y'=2^{x+y}=2^x*2^y[/mm]
jetzt Trennung der Variablen, d.h. [mm] 2^y [/mm] auf die andere Seite.
Hinweis [mm] 2^a=e^{a*ln2}
[/mm]
Gruss leduart
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Danke Leduart,
das hatte ich probiert - ich weiß leider nicht recht was ich mit dem linken Term anfangen soll:
[mm] \bruch{y'}{2^{y}}=2^{x}
[/mm]
[mm] \bruch{y'}{y*ln(2)}=x*ln(2)
[/mm]
Die Beziehung [mm] 2^a=e^{a*ln2} [/mm] kannt ich nicht so recht, ist es die oben angewandte?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Mi 22.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo user
> Danke Leduart,
>
> das hatte ich probiert - ich weiß leider nicht recht was
> ich mit dem linken Term anfangen soll:
>
> [mm]\bruch{y'}{2^{y}}=2^{x}[/mm]
> [mm]\bruch{y'}{y*ln(2)}=x*ln(2)[/mm]
das ist einfach falsch! denn [mm] 2^y \ne [/mm] y*ln2!
Aus der Definition von ln folgt doch e^ln2=2 also [mm] (e^ln2)^y=2^y [/mm]
Aus [mm] \bruch{y'}{2^{y}}=2^{x}[/mm] [/mm] kannst machen : [mm] 2^{-y}dy=2^xdx
[/mm]
und nachdem du 2 durch [mm] e^{ln2} [/mm] ersetzt hast kannst du die Integrale!
Constante nicht vergessen!
Gruss leduart
> Die Beziehung [mm]2^a=e^{a*ln2}[/mm] kannt ich nicht so recht, ist
> es die oben angewandte?
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danke, stimmt.
also so ganz will es noch nicht in mein Kopf, was das Ersetzen von 2 durch [mm] e^{ln2} [/mm] nutzt?
also
[mm] \bruch{y'}{2^{y}}=2^{x} \Rightarrow y'=\bruch{dy}{dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2^{-y}dy=2^xdx [/mm]
und nun [mm] (e^{ln2})^-y [/mm] dy = [mm] (e^{ln2})^x [/mm] dx.
Laut TW, ist [mm] \integral{a^x}=\bruch{a^x}{lna}
[/mm]
also:
[mm] \bruch{2^{-y}}{ln2}=\bruch{2^{x}}{ln2}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Mi 22.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> danke, stimmt.
> also so ganz will es noch nicht in mein Kopf, was das
> Ersetzen von 2 durch [mm]e^{ln2}[/mm] nutzt?
>
> also
>
> [mm]\bruch{y'}{2^{y}}=2^{x} \Rightarrow y'=\bruch{dy}{dx}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 2^{-y}dy=2^xdx[/mm]
> und nun [mm][mm] (e^{-y*ln2})/mm] [/mm] dy = [mm](e^{x*ln2})[/mm] dx.
>
> Laut TW, ist [mm]\integral{a^x}=\bruch{a^x}{lna}[/mm]
> also:
> [mm]\bruch{2^{-y}}{ln2}=\bruch{2^{x}}{ln2}[/mm]
fast richtig. Ich wusste nicht, dass ihr Integrale mit TW löst, sondern dachte dass müsstest du selbst. Aber das Vorzeichen stimmt noch nicht! und die Konstante fehlt!
Gruss leduart
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na TW bringt schnell mal eine Abhilfe, wenn man nicht weiter weiß, natürlich wär mir das lösen per Hand lieber, da weiß ich, dass es dann wohl stimmt.
Brauch ich auf beiden Seiten der Gleichung die Konstanten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Mi 22.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo user
theoretisch ja, praktisch nein, da du beide Konst auf eine Seite bringen und durch eine ersetzen kannst. Also in Wirklichkeit nur eine. Die bestimmst du dann durch den Anfangswert.
Gruss leduart
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