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| Aufgabe | [mm] y'(t)=y(t)^{\bruch{4}{3}}
[/mm]
soll mit den Anfangswerten y(0)=0 und y(0)=1 mittels Picard-Iteration gelöst werden.
Leite eine explizite Lösung her!
Lösen sie beide Anfangswertprobleme mittels getrennter Variablen und überprüfe das Ergebnis. |
Okay, also bilde ich jetzt jeweils für [mm] y'=y^{\bruch{4}{3}} [/mm] für y(0)=0 und y(1)=1 z.B. 4 oder 5 terme der Picard Iteration?
Was heißt eine explizite Lösung? das ich wieder für [mm] y_n [/mm] eine Formel ähnlich wie bei a) herleiten soll?
mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> [mm]y'(t)=y(t)^{\bruch{4}{3}}[/mm]
> soll mit den Anfangswerten y(0)=0 und y(0)=1 mittels
> Picard-Iteration gelöst werden.
>
> Leite eine explizite Lösung her!
> Lösen sie beide Anfangswertprobleme mittels getrennter
> Variablen und überprüfe das Ergebnis.
>
> Okay, also bilde ich jetzt jeweils für [mm]y'=y^{\bruch{4}{3}}[/mm]
> für y(0)=0 und y(1)=1 z.B. 4 oder 5 terme der Picard
> Iteration?
>
Ja. Das kannst Du erst allgemein machen,
d.h. mit variabler Anfangsbedingung [mm]y\left(0\right)=\eta[/mm].
> Was heißt eine explizite Lösung? das ich wieder für [mm]y_n[/mm]
> eine Formel ähnlich wie bei a) herleiten soll?
>
Nein, die DGL ist mit Hilfe der Trennung der Veränderlichen zu lösen.
> mathegirl
Gruss
MathePower
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achso, also ist damit die allgemeine Lösung gemeint? Den begriff explizite Lösung habe ich bisher noch nicht gehört.
Muss ich das allgemein machen oder kann ich gleich für y(0)=0 und y(0)=1 rechnen?
Der Vorteil wäre wenn ich für y(0)=n rechne, dass ich dann bloß noch einsetzen brauche..oder?
mathegirl
(PS: Danke für deine Geduld mir das alles Schritt für Schritt zu erklären!)
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Hallo Mathegirl,
> achso, also ist damit die allgemeine Lösung gemeint? Den
> begriff explizite Lösung habe ich bisher noch nicht
> gehört.
>
Richtig erkannt.
> Muss ich das allgemein machen oder kann ich gleich für
> y(0)=0 und y(0)=1 rechnen?
>
Das kannst Du natürlich auch für die gegebenen Anfangsbedingungen rechnen.
> Der Vorteil wäre wenn ich für y(0)=n rechne, dass ich
> dann bloß noch einsetzen brauche..oder?
>
So isses.
> mathegirl
>
> (PS: Danke für deine Geduld mir das alles Schritt für
> Schritt zu erklären!)
Gruss
MathePower
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[mm] y'(t)=y(t)^{\bruch{4}{3}}
[/mm]
[mm] y_0=0
[/mm]
[mm] y_1=0+\integral_{0}^{x}{y_0(t)^{\bruch{4}{3}} dt}= 0+\integral_{0}^{x}{0^{\bruch{4}{3}} dt}= [/mm] 0+1
[mm] y_2=0+\integral_{0}^{x}{y_1(t)^{\bruch{4}{3}} dt}= 0+\integral_{0}^{x}{1^{\bruch{4}{3}} dt}= [/mm] 0+x
[mm] y_3=0+\integral_{0}^{x}{y_2(t)^{\bruch{4}{3}} dt}= 0+\integral_{0}^{x}{x^{\bruch{4}{3}} dt}= [/mm] 0+ [mm] \bruch{3}{7}x^\bruch{7}{3}
[/mm]
Das ist alles gerade sehr komisch...das stimmt so sicher nicht oder?
MfG
mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> [mm]y'(t)=y(t)^{\bruch{4}{3}}[/mm]
> [mm]y_0=0[/mm]
> [mm]y_1=0+\integral_{0}^{x}{y_0(t)^{\bruch{4}{3}} dt}= 0+\integral_{0}^{x}{0^{\bruch{4}{3}} dt}=[/mm]
> 0+1
Überlege Dir, was [mm]0^{4/3}[/mm] ist.
> [mm]y_2=0+\integral_{0}^{x}{y_1(t)^{\bruch{4}{3}} dt}= 0+\integral_{0}^{x}{1^{\bruch{4}{3}} dt}=[/mm]
> 0+x
> [mm]y_3=0+\integral_{0}^{x}{y_2(t)^{\bruch{4}{3}} dt}= 0+\integral_{0}^{x}{x^{\bruch{4}{3}} dt}=[/mm]
> 0+ [mm]\bruch{3}{7}x^\bruch{7}{3}[/mm]
>
> Das ist alles gerade sehr komisch...das stimmt so sicher
> nicht oder?
>
> MfG
> mathegirl
Gruss
MathePower
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ja, [mm] 0^{\bruch{4}{3}}= [/mm] 0 und eine Stammfunktion von 0 ist z.B. 1
wie muss es denn richtig lauten?
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> ja, [mm]0^{\bruch{4}{3}}=[/mm] 0 und eine Stammfunktion von 0 ist
> z.B. 1
>
y=1 ist keine Lösung, da diese die DGL nicht erfüllt.
> wie muss es denn richtig lauten?
>
Bleibt als einzige Lösung y=0.
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Also brauche ich für y(0)=0 und für y(0)=1 nicht die terme zu berechnen? Aber es heißt doch in der Aufgabe, dass ich diese DGL mittels Picard Iteration lösen soll. Gibt es eine explizite Lösung die ich mit dem Iterationsverfahren bestimmen kann?
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Also brauche ich für y(0)=0 und für y(0)=1 nicht die
> terme zu berechnen? Aber es heißt doch in der Aufgabe,
> dass ich diese DGL mittels Picard Iteration lösen soll.
> Gibt es eine explizite Lösung die ich mit dem
> Iterationsverfahren bestimmen kann?
>
Die Lösungen unter den gegebenen Anfangsbedingungen
sind mit der Picard-Iteration zu bestimmen.
Die Lösung y=0 für die Anfangsbedingung y(0)=0 kommt
auch durch die Anwendung der Picard-Iteration zustande.
>
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | | Können sie eine explizite Lösung herleiten? Löse beide Anfangswertprobleme mittels getrennter Variablen. |
okay, da wir das in der VL nie angesprochen haben, bereitet mir das nun ziemliche Probleme (nicht nur mir!!!)
[mm] y'=y^\bruch{4}{3} \
[/mm]
Trennung der Variablen:
[mm] \bruch{dy}{dx}=y^\bruch{4}{3}\Rightarrow \bruch{dy}{y^\bruch{4}{3}}=dx
[/mm]
Integration auf beiden Seiten:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dy}{y}}=\integral_{}^{}{dx}\Rightarrow [/mm]
[mm] -\bruch{3}{\wurzel[3]{y}}=x+C
[/mm]
Stimmt das soweit? Aber was mache ich nun mit meinen Anfangswerte y(0)=0 und y(0)=1?
wie sezue ich die ein wenn ich eine die Anfangswertprobleme mittels getrennter Variablen lösen soll?
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Können sie eine explizite Lösung herleiten? Löse beide
> Anfangswertprobleme mittels getrennter Variablen.
> okay, da wir das in der VL nie angesprochen haben,
> bereitet mir das nun ziemliche Probleme (nicht nur mir!!!)
>
> [mm]y'=y^\bruch{4}{3} \[/mm]
> Trennung der Variablen:
> [mm]\bruch{dy}{dx}=y^\bruch{4}{3}\Rightarrow \bruch{dy}{y^\bruch{4}{3}}=dx[/mm]
>
>
> Integration auf beiden Seiten:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dy}{y}}=\integral_{}^{}{dx}\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]-\bruch{3}{\wurzel[3]{y}}=x+C[/mm]
>
Ja, das stimmt soweit. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Stimmt das soweit? Aber was mache ich nun mit meinen
> Anfangswerte y(0)=0 und y(0)=1?
>
Der Wert 0 für y ist nicht zulässig.
Es muss demnach noch eine andere Lösung für y geben.
> wie sezue ich die ein wenn ich eine die Anfangswertprobleme
> mittels getrennter Variablen lösen soll?
>
Setze die Anfangsbedingung y(0)=1 in die Gleichung
[mm]-\bruch{3}{\wurzel[3]{y}}=x+C[/mm]
ein. Dann erhältst Du die Konstante C.
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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als allgemeine Lösung muss es dann umgeformt wie folgt aussehen:
[mm] y=(-\bruch{3}{x+C})^3
[/mm]
und wenn ich y(0)=1 einsetzen, dann erhalte ich für C=3-x
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> als allgemeine Lösung muss es dann umgeformt wie folgt
> aussehen:
> [mm]y=(-\bruch{3}{x+C})^3[/mm]
>
> und wenn ich y(0)=1 einsetzen, dann erhalte ich für C=3-x
>
Für x mußt Du 0 einsetzen , dann stimmt es aber immer noch nicht.
>
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Was ist an der allgemeinen Lösung denn falsch?
wenn ich für x Null einsetze, dann erhalte ich:
[mm] C=\bruch{3}{\wurzel[3]{y}}[/mm]
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Hallo Mathegirl,
> Was ist an der allgemeinen Lösung denn falsch?
>
An der allgemeinen Lösung ist nichts falsch.
Bei der Bestimmung der Konstanten ist Dir ein Fehler unterlaufen.
> wenn ich für x Null einsetze, dann erhalte ich:
>
> [mm]C=\bruch{3}{\wurzel[3]{y}}[/mm]
Auch hier: Setze für y=1.
Es ist doch:[mm]y=(-\bruch{3}{x+C})^3[/mm]
Anfangsbedingung y(0)=1 eingesetzt:
[mm]1=(-\bruch{3}{0+C})^3[/mm]
Daraus ergibt sich dann das C.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 So 06.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo auch wenn du die Stammfunktion y=c an 0 und x einsetzest hast du c-c=0 !
Gruss leduart
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