Anfangsbedingung für DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Do 02.07.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Lösungen [mm] y:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} [/mm] der Differentialgleichung [mm] y'=\sqrt{|y|}, [/mm] die die Anfangsbedingung y(0)=0 erfüllen. |
Hallo,
vermutlich ist diese Aufgabe nicht so schwer, wenn man weiß wie es geht.
Ich habe bisher immer nur Aufgaben der Form y'=f(x,y) gelöst. Da kommt man mit Substitution immer recht schnell ans Ziel.
Die Frage ist aber, wie muss ich hier vorgehen, sodass ich mein y rausbekommen.
Das Problem ist auch, dass ich den Betrag in meiner DGL habe, das verwirrt mich etwas.
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Hallo Unk,
> Bestimmen Sie alle Lösungen [mm]y:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/mm]
> der Differentialgleichung [mm]y'=\sqrt{|y|},[/mm] die die
> Anfangsbedingung y(0)=0 erfüllen.
> Hallo,
>
> vermutlich ist diese Aufgabe nicht so schwer, wenn man
> weiß wie es geht.
> Ich habe bisher immer nur Aufgaben der Form y'=f(x,y)
> gelöst. Da kommt man mit Substitution immer recht schnell
> ans Ziel.
>
> Die Frage ist aber, wie muss ich hier vorgehen, sodass ich
> mein y rausbekommen.
Wie wär's mit Trennung der Variablen?
Deine Dgl. lautet ja [mm] $y'(x)=\sqrt{|y(x)|}$
[/mm]
Also mit Trennung: [mm] $\frac{1}{\sqrt{|y|}} [/mm] \ dy=1 \ dx$
bzw. [mm] $|y|^{-\frac{1}{2}} [/mm] \ dy=1 \ dx$ ...
Nun beiderseits integrieren
> Das Problem ist auch, dass ich den Betrag in meiner DGL
> habe, das verwirrt mich etwas.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Do 02.07.2009 | | Autor: | Unk |
> Wie wär's mit Trennung der Variablen?
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> Deine Dgl. lautet ja [mm]y'(x)=\sqrt{|y(x)|}[/mm]
>
> Also mit Trennung: [mm]\frac{1}{\sqrt{|y|}} \ dy=1 \ dx[/mm]
>
> bzw. [mm]|y|^{-\frac{1}{2}} \ dy=1 \ dx[/mm] ...
>
> Nun beiderseits integrieren
>
> > Das Problem ist auch, dass ich den Betrag in meiner DGL
> > habe, das verwirrt mich etwas.
>
>
> LG
>
> schachuzipus
Kann man das so einfach machen? Muss dafür y'=f(x)g(y) sein, also Produkt zweier Funktionen, oder ist es das hier?
Egal:
Es ist ja [mm] x=\int \frac{dy}{\sqrt|y|}.
[/mm]
Jetzt kann ich ja nicht einfach eine Stammfkt. des Integrals bilden. Aufteilen geht doch auch nicht, weil ich doch dann was negatives unter der Wurzel hätte. Wie kann man das Problem lösen?
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Hallo Unk,
> > Wie wär's mit Trennung der Variablen?
> >
> > Deine Dgl. lautet ja [mm]y'(x)=\sqrt{|y(x)|}[/mm]
> >
> > Also mit Trennung: [mm]\frac{1}{\sqrt{|y|}} \ dy=1 \ dx[/mm]
> >
> > bzw. [mm]|y|^{-\frac{1}{2}} \ dy=1 \ dx[/mm] ...
> >
> > Nun beiderseits integrieren
> >
> > > Das Problem ist auch, dass ich den Betrag in meiner DGL
> > > habe, das verwirrt mich etwas.
> >
> >
> > LG
> >
> > schachuzipus
>
>
> Kann man das so einfach machen? Muss dafür y'=f(x)g(y)
> sein, also Produkt zweier Funktionen, oder ist es das
> hier?
Hier ist [mm]f\left(x\right)=1, \ g\left(y\right)=\wurzel{\vmat{y}}[/mm]
>
> Egal:
> Es ist ja [mm]x=\int \frac{dy}{\sqrt|y|}.[/mm]
> Jetzt kann ich ja
> nicht einfach eine Stammfkt. des Integrals bilden.
> Aufteilen geht doch auch nicht, weil ich doch dann was
> negatives unter der Wurzel hätte. Wie kann man das Problem
> lösen?
Unter der Wurzel steht immer etwas positives.
Hier ist dann meines Erachtens eine Fallunterscheidung notwendig:
Wie lautet die Stammfunktion, wenn y > 0?
Wie lautet die Stammfunktion, wenn y < 0?
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Fr 03.07.2009 | | Autor: | Unk |
> Wie lautet die Stammfunktion, wenn y > 0?
> Wie lautet die Stammfunktion, wenn y < 0?
>
>
> Gruß
> MathePower
Ja. Aber was ist mit y<0, dann gilt doch [mm] y'=\sqrt{-y} [/mm] oder was folgt sonst aus der Fallunterscheidung, d.h. was ändert sich für den Fall y<0?
und wie kann ich da eine Stammfkt. bekommen.
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Hallo Unk,
> > Wie lautet die Stammfunktion, wenn y > 0?
> > Wie lautet die Stammfunktion, wenn y < 0?
> >
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
> Ja. Aber was ist mit y<0, dann gilt doch [mm]y'=\sqrt{-y}[/mm] oder
> was folgt sonst aus der Fallunterscheidung, d.h. was
> ändert sich für den Fall y<0?
> und wie kann ich da eine Stammfkt. bekommen.
Eine Stammfunktion bekommst auf dem gleichn Weg,
wie die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{\wurzel{y}}[/mm] bekommen hast.
Kurz und gut, substituiere hier [mm]u^{2}=-y[/mm].
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Fr 03.07.2009 | | Autor: | Unk |
> Hallo Unk,
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> > > Wie lautet die Stammfunktion, wenn y > 0?
> > > Wie lautet die Stammfunktion, wenn y < 0?
> > >
> > >
> > > Gruß
> > > MathePower
> >
> > Ja. Aber was ist mit y<0, dann gilt doch [mm]y'=\sqrt{-y}[/mm] oder
> > was folgt sonst aus der Fallunterscheidung, d.h. was
> > ändert sich für den Fall y<0?
> > und wie kann ich da eine Stammfkt. bekommen.
>
>
> Eine Stammfunktion bekommst auf dem gleichn Weg,
> wie die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{\wurzel{y}}[/mm] bekommen
> hast.
>
> Kurz und gut, substituiere hier [mm]u^{2}=-y[/mm].
>
>
> Gruß
> MathePower
Wäre die Stammfunktion von [mm] \frac{1}{\sqrt{u^2}} [/mm] dann:
[mm] \frac{1}{u}\cdot \sqrt{u^2} [/mm] ?
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Hallo Unk,
> > Hallo Unk,
> >
> > > > Wie lautet die Stammfunktion, wenn y > 0?
> > > > Wie lautet die Stammfunktion, wenn y < 0?
> > > >
> > > >
> > > > Gruß
> > > > MathePower
> > >
> > > Ja. Aber was ist mit y<0, dann gilt doch [mm]y'=\sqrt{-y}[/mm] oder
> > > was folgt sonst aus der Fallunterscheidung, d.h. was
> > > ändert sich für den Fall y<0?
> > > und wie kann ich da eine Stammfkt. bekommen.
> >
> >
> > Eine Stammfunktion bekommst auf dem gleichn Weg,
> > wie die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{\wurzel{y}}[/mm] bekommen
> > hast.
> >
> > Kurz und gut, substituiere hier [mm]u^{2}=-y[/mm].
> >
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
> Wäre die Stammfunktion von [mm]\frac{1}{\sqrt{u^2}}[/mm] dann:
> [mm]\frac{1}{u}\cdot \sqrt{u^2}[/mm] ?
>
Leider nein.
Gruß
MathePower
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