AnfangsRandwertprob. Diffusion < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Di 01.12.2015 | | Autor: | Teryosas |
| Aufgabe | Lösen Sie das folgende Anfangs-Randwertproblem für die Wärmeleitungsgleichung:
[mm] \bruch{\partial u}{\partial t}(x,t) [/mm] = [mm] 3*\bruch{\partial^2u}{\partial x^2}(x,t) [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi [/mm] , t [mm] \ge [/mm] 0
u(0,t) = [mm] u(\pi,t) [/mm] = 0 für t [mm] \ge [/mm] 0
u(x,0)=4sin(x)-sin(3x) für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi [/mm] |
Hey,
würde gerne wissen ob mein Lösungsweg richtig ist?
Die Lösung ohne Beachtung der Anfangsbedingung:
u(x,t) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} b_{n}*sin(nx)e^{-3n^2t}
[/mm]
für [mm] b_{n} [/mm] mit [mm] n\ge [/mm] 1 und t=0
u(x,0) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_{n}*sin(nx) [/mm] = 4sin(x)-sin(3x)
durch Koeffizientenvergleich bekomme ich [mm] b_{1}=4, b_{2}=-1 [/mm] und [mm] b_{n}=0 [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 3
Somit ist die Lösung:
u(x,t) = [mm] 4sin(x)*e^{-3t}-sin(3x)*e^{-12t}
[/mm]
stimmt das so?
LG :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 Di 01.12.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] b_2=0 b_3=-1 [/mm] ergibt der richtige Koeffizientenvergleich.
dass deine Lösung falsch ist hättest du leicht durch einsetzen in die Dgl feststellen können.. die Probe sollte man IMMER machen.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Do 03.12.2015 | | Autor: | Teryosas |
> Hallo
> [mm]b_2=0 b_3=-1[/mm] ergibt der richtige Koeffizientenvergleich.
> dass deine Lösung falsch ist hättest du leicht durch
> einsetzen in die Dgl feststellen können.. die Probe sollte
> man IMMER machen.
> Gruß leduart
Wie kommst du denn auf diese Koeffizienten?
Habe eine ähnliche Aufgabe aus letztem Jahr mit u(x,0)=2sin(x)-sin(2x) und da sind laut Musterlösung: [mm] b_{1}=2, b_{2}=-1 [/mm] und [mm] b_{n}=0.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 Sa 05.12.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
da stand sin (2x) bei dir sin(3x)!
Gruß leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Do 03.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie das folgende Anfangs-Randwertproblem für die
> Wärmeleitungsgleichung:
>
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial t}(x,t)[/mm] =
> [mm]3*\bruch{\partial^2u}{\partial x^2}(x,t)[/mm] für 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le \pi[/mm]
> , t [mm]\ge[/mm] 0
> u(0,t) = [mm]u(\pi,t)[/mm] = 0 für t [mm]\ge[/mm] 0
> u(x,0)=4sin(x)-sin(3x) für 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le \pi[/mm]
> Hey,
> würde gerne wissen ob mein Lösungsweg richtig ist?
>
> Die Lösung ohne Beachtung der Anfangsbedingung:
> u(x,t) = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} b_{n}*sin(nx)e^{-3n^2t}[/mm]
>
> für [mm]b_{n}[/mm] mit [mm]n\ge[/mm] 1 und t=0
> u(x,0) = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}b_{n}*sin(nx)[/mm] =
> 4sin(x)-sin(3x)
>
> durch Koeffizientenvergleich bekomme ich [mm]b_{1}=4, b_{2}=-1[/mm]
> und [mm]b_{n}=0[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 3
Da hast Du Dich vertan ! Es ist [mm] b_1=4, b_2=0, b_3=-1 [/mm] und [mm]b_{n}=0[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 4.
>
> Somit ist die Lösung:
> u(x,t) = [mm]4sin(x)*e^{-3t}-sin(3x)*e^{-12t}[/mm]
Jetzt stimmts wieder !
FRED
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> stimmt das so?
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> LG :)
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