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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Sa 06.12.2014 | | Autor: | Teryosas |
| Aufgabe | Lösen Sie das folgende Anfangs-Randwertproblem für die inhomogene Wärmeleitungsgleichung:
[mm] \bruch{\partial u}{\partial t}(x,t)=\bruch{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)+3tsin(2x) [/mm] für 0 [mm] \le x\le \pi [/mm] , [mm] t\ge [/mm] 0
[mm] u(0,t)=u(\pi [/mm] ,t)=0 für [mm] t\ge [/mm] 0 u(x,0)=0 für [mm] 0\le x\le \pi [/mm] |
hey,
also hier dürfte der allgemeine Ansatz sein:
[mm] u(x,t)=\summe_{n=1}^{\infty}b_{n}(t)sin(n\bruch{\pi}{L}x) [/mm] für [mm] 0\le x\le [/mm] L, [mm] t\ge [/mm] 0
da bei mir [mm] L=\pi [/mm] ist komme ich auf
[mm] u(x,t)=\summe_{n=1}^{\infty}b_{n}(t)sin(n\bruch{\pi}{\pi}x)=\summe_{n=1}^{\infty}b_{n}(t)sin(n*1*x) [/mm] für [mm] 0\le x\le \pi, t\ge [/mm] 0
jetzt muss ich die zeitabhängige Fourier-Entwicklung aufstellen um den zeitabhängigen Koeffizienten [mm] b_{n}(t) [/mm] zu bestimmen
[mm] f(x,t)=\summe_{n=1}^{\infty}f_{n}(t)sin(nx) [/mm] für [mm] 0\le x\le \pi, t\ge [/mm] 0
falls ich bis hierher richtig bin komme ich nicht weiter.
hier mal meine Vermutung:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}sin(nx)[(\bruch{nc\pi}{\pi})^2*b_{n}(t)+b_{n}'(t)-f_{n}(t)]=\summe_{n=1}^{\infty}sin(nx)[(\bruch{nc}{1})^2*b_{n}(t)+b_{n}'(t)-f_{n}(t)] [/mm] = 0
wenn ich nun nur die eckige Klammer betrachte:
[mm] \bruch{nc}{1}^2*b_{n}(t)+b_{n}'(t) [/mm] = [mm] f_{n}(t)
[/mm]
Aber wie komme ich jetzt auf die Koeffizienten [mm] b_{1}(t), b_{2}(t)....???
[/mm]
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Hallo Teryosas,
> Lösen Sie das folgende Anfangs-Randwertproblem für die
> inhomogene Wärmeleitungsgleichung:
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial t}(x,t)=\bruch{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)+3tsin(2x)[/mm]
> für 0 [mm]\le x\le \pi[/mm] , [mm]t\ge[/mm] 0
>
> [mm]u(0,t)=u(\pi[/mm] ,t)=0 für [mm]t\ge[/mm] 0 u(x,0)=0
> für [mm]0\le x\le \pi[/mm]
> hey,
>
> also hier dürfte der allgemeine Ansatz sein:
> [mm]u(x,t)=\summe_{n=1}^{\infty}b_{n}(t)sin(n\bruch{\pi}{L}x)[/mm]
> für [mm]0\le x\le[/mm] L, [mm]t\ge[/mm] 0
Das kommt schlussendlich für die homogene Lösung auch heraus.
> da bei mir [mm]L=\pi[/mm] ist komme ich auf
> [mm]u(x,t)=\summe_{n=1}^{\infty}b_{n}(t)sin(n\bruch{\pi}{\pi}x)=\summe_{n=1}^{\infty}b_{n}(t)sin(n*1*x)[/mm]
> für [mm]0\le x\le \pi, t\ge[/mm] 0
>
> jetzt muss ich die zeitabhängige Fourier-Entwicklung
> aufstellen um den zeitabhängigen Koeffizienten [mm]b_{n}(t)[/mm] zu
> bestimmen
> [mm]f(x,t)=\summe_{n=1}^{\infty}f_{n}(t)sin(nx)[/mm] für [mm]0\le x\le \pi, t\ge[/mm]
> 0
>
Ja.
> falls ich bis hierher richtig bin komme ich nicht weiter.
> hier mal meine Vermutung:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}sin(nx)[(\bruch{nc\pi}{\pi})^2*b_{n}(t)+b_{n}'(t)-f_{n}(t)]=\summe_{n=1}^{\infty}sin(nx)[(\bruch{nc}{1})^2*b_{n}(t)+b_{n}'(t)-f_{n}(t)][/mm]
> = 0
Hast Du hier etwa Variation der Konstanten angewendet?
> wenn ich nun nur die eckige Klammer betrachte:
> [mm]\bruch{nc}{1}^2*b_{n}(t)+b_{n}'(t)[/mm] = [mm]f_{n}(t)[/mm]
> Aber wie komme ich jetzt auf die Koeffizienten [mm]b_{1}(t), b_{2}(t)....???[/mm]
>
Da wird Dir nicht anderes übrigbleiben,
als die entstandene DGL zu lösen.
Gruss
MathePower
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