Analytische Geometrie Kreise in der Ebene < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Do 08.01.2004 | | Autor: | Diejo |
Aufgabe: Bestimme den Kreis mit dem dem Mittelpunkt auf der Geraden g: x1-x2=0 durch die Punkte
T(-10/-1), U(2/5).
Wie kann ich diese Aufgabe lösen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Do 08.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Diejo,
willkommen im MatheRaum  !
> Aufgabe: Bestimme den Kreis mit dem dem Mittelpunkt auf der
> Geraden g: x1-x2=0 durch die Punkte
> T(-10/-1), U(2/5).
> Wie kann ich diese Aufgabe lösen?
Die allgemeine Kreisgleichung
[mm] (x_1-m_1)^2 + (x_2-m_2)^2 = r^2 [/mm] wirst du ja wahrscheinlich bereits kennen [mm] M = (m_1|m_2) [/mm] sei der Mittelpunkt).
Ein Punkt [mm] P=(x_1|x_2) [/mm] liegt also auf dem Kreis, wenn die Koordinaten in diese Gleichung eingesetzt zu einer wahren Aussage führen; machen wir das doch mal mit den beiden Punkten T und U:
[mm] \begin{array}{crcc}
& (-10-m_1)^2 + (-1-m_2)^2 & = & r^2 \\
\wedge & (2-m_1)^2 + (5-m_2)^2 & = & r^2
\end{array} [/mm]
Der gesuchte Kreis muß natürlich beide Gleichungen erfüllen, es handelt sich hier also um ein Gleichungssystem.
Nun liegt der Mittelpunkt auf der Geraden g, es gilt also:
[mm] m_1-m_2 = 0 [/mm] (die Koordinaten von M erfüllen die Geradengleichung), woraus unmittelbar [mm] m_2 = m_1 [/mm] folgt. Das nutzen wir direkt in unserem obigen Gleichungssystemssystem aus:
[mm]\gdw[/mm][mm] \begin{array}{crcc}
& (-10-m_1)^2 + (-1-m_1)^2 & = & r^2 \\
\wedge & (2-m_1)^2 + (5-m_1)^2 & = & r^2
\end{array} [/mm]
Wir haben nun zwei Variablen und zwei Gleichungen; eine eindeutige Lösung wäre also möglich:
[mm]\gdw[/mm][mm] \begin{array}{crcc}
& 100+20m_1+m_1^2 + 1+2m_1+m_1^2 & = & r^2 \\
\wedge & 4-4m_1+m_1^2 + 25-10m_1+m_1^2 & = & r^2
\end{array} [/mm]
[mm]\gdw[/mm][mm] \begin{array}{crcc}
& 101+22m_1+2m_1^2 & = & r^2 \\
\wedge & 29-14m_1+2m_1^2 & = & r^2
\end{array} [/mm]
Gleichsetzen der beiden Gleichungen:
[mm]\gdw[/mm][mm] \begin{array}{crcl}
& 101+22m_1+2m_1^2 & = & 29-14m_1+2m_1^2 \\
\wedge & 29-14m_1+2m_1^2 & = & r^2
\end{array} [/mm]
[mm]\gdw[/mm][mm] \begin{array}{crcl}
& 72+36m_1 & = & 0 \\
\wedge & 29-14m_1+2m_1^2 & = & r^2
\end{array} [/mm]
[mm]\gdw[/mm][mm] \begin{array}{crcl}
& 36m_1 & = & -72 \\
\wedge & 29-14m_1+2m_1^2 & = & r^2
\end{array} [/mm]
[mm]\gdw[/mm][mm] \begin{array}{crcl}
& m_1 & = & -2 \\
\wedge & 29+14*2+2*(-2)^2 & = & r^2
\end{array} [/mm]
[mm]\gdw[/mm][mm] \begin{array}{crcl}
& m_1 & = & -2 \\
\wedge & 29+28+8 & = & r^2
\end{array} [/mm]
[mm]\gdw[/mm][mm] \begin{array}{crcl}
& m_1 & = & -2 \\
\wedge & 65 & = & r^2
\end{array} [/mm]
[mm]\gdw[/mm][mm] \begin{array}{crcl}
& m_1 & = & -2 \\
\wedge & r & = & \sqrt{65}
\end{array} [/mm]
Der gesuchte Kreis hat also den Mittelpunkt [mm] M = (-2|-2) [/mm] und den Radius [mm] r = \sqrt{65} [/mm]
Ist alles klar soweit? Falls nicht, frage bitte nach, wir helfen gern.
Alles Gute,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 Fr 09.01.2004 | | Autor: | Diejo |
vielen dank für deine antwort, sie hat mir echt weitergeholfen
könnte alleridings sein, dass ich in nächster zeit noch mehr fragen haben werde, da ich im moment etwas auf dem schlauch stehe
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