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| Aufgabe | Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(2,1,3) und B(1,2,5).
Die Ebene F enthält die Punkte P(3,1,2), Q(5,2,1) und R(-1,-4,1).
Die Ebene [mm] E_{3} [/mm] mit der Gleichung 3x+y+z-4=0 ist eine Ebene der Schar [mm] E_{a} [/mm] mit der Gleichung [mm] [\vec{x}- \vektor{-1 \\ 1\\6}]*\vektor{a \\ a-2\\1}=0. [/mm] a Element R
Aufgabe 2.2.4
Zeigen Sie, dass keine Ebene der Schar [mm] E_{a} [/mm] parallel zur z- Achse verläuft. Zeigen Sie, dass keine Ebene der Schar [mm] E_{a} [/mm] orthogonal zur x-y Ebene verläuft.
Die Ebene G enthält die Schnittgerade s: [mm] \vec{x}= \vektor{0 \\ 0\\ 4}+u \vektor{1\\ -1\\ -2}
[/mm]
und ist keine Ebene der Schar [mm] E_{a}. [/mm] Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene G.
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Kann mir jemand Ansätze zum Rechnen geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 Sa 29.11.2008 | | Autor: | goeba |
Hallo,
> Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(2,1,3) und
> B(1,2,5).
> Die Ebene F enthält die Punkte P(3,1,2), Q(5,2,1) und
> R(-1,-4,1).
> Die Ebene [mm]E_{3}[/mm] mit der Gleichung 3x+y+z-4=0 ist eine Ebene
> der Schar [mm]E_{a}[/mm] mit der Gleichung [mm][\vec{x}- \vektor{-1 \\ 1\\6}]*\vektor{a \\ a-2\\1}=0.[/mm]
> a Element R
>
> Aufgabe 2.2.4
> Zeigen Sie, dass keine Ebene der Schar [mm]E_{a}[/mm] parallel zur
> z- Achse verläuft.
Parallel hieße: Der Normalenvektor steht senkrecht zur z-Achse. Weise also rechnerisch (Skalarprodukt) nach, dass das nie der Fall ist.
Zeigen Sie, dass keine Ebene der Schar
> [mm]E_{a}[/mm] orthogonal zur x-y Ebene verläuft.
Überlege Dir, was was mit der vorhergehenden Aufgabe zu tun hat.
> Die Ebene G enthält die Schnittgerade s: [mm]\vec{x}= \vektor{0 \\ 0\\ 4}+u \vektor{1\\ -1\\ -2}[/mm]
>
> und ist keine Ebene der Schar [mm]E_{a}.[/mm] Bestimmen Sie eine
> Gleichung der Ebene G.
>
Du weißst ja schon Stützpunkt und einen Richtungsvektor der Ebene G (nämlich die der Geraden). Jetzt musst Du den zweiten Richtungsvektor so bestimmen, dass keine Ebene der Schar rauskommt. Das ist der Fall, wenn der zweite Richtungsvektor niemals senkrecht zum Normalenvektor der Schar steht (Tipp: Da gibts nicht viel zu rechnen, beachte die vorangehenden Aufgaben).
Viele Grüße,
Andreas
> Kann mir jemand Ansätze zum Rechnen geben?
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 09:52 So 30.11.2008 | | Autor: | Steffie90 |
Könnte mir jemand diese Aufgabe vorrechen, wäre euch sehr dankbar... Komme allein nicht darauf...
Gruß Steffie
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> Könnte mir jemand diese Aufgabe vorrechen, wäre euch sehr
> dankbar... Komme allein nicht darauf...
>
> Gruß Steffie
Hallo,
Tips hast du ja schon bekommen.
Das Rechnen ist Deine Angelegenheit. Wir helfen gern, wen nes nicht weitergeht oder bei konkreten Fragen.
Ein Lösungsmaschine ist das Forum nicht.
Also: leg' mal los oder sag# konkret (!), woran das scheitert.
Mit "Komme alleine nicht drauf" kann man wenig anfangen.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(2,1,3) und B(1,2,5).
Die Ebene F enthält die Punkte P(3,1,2), Q(5,2,1) und R(-1,-4,1).
Die Ebene [mm] E_{3} [/mm] mit der Gleichung 3x+y+z-4=0 ist eine Ebene der Schar [mm] E_{a} [/mm] mit der Gleichung [mm] [\vec{x}- \vektor{-1 \\ 1\\6}]*\vektor{a \\ a-2\\1}=0. [/mm] a Element R
Aufgabe 2.2.4
Zeigen Sie, dass keine Ebene der Schar [mm] E_{a} [/mm] parallel zur z- Achse verläuft. Zeigen Sie, dass keine Ebene der Schar [mm] E_{a} [/mm] orthogonal zur x-y Ebene verläuft.
Die Ebene G enthält die Schnittgerade s: [mm] \vec{x}= \vektor{0 \\ 0\\ 4}+u \vektor{1\\ -1\\ -2} [/mm]
und ist keine Ebene der Schar [mm] E_{a}. [/mm] Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene G. |
[mm] \vektor{0 \\ 0\\1}*\vektor{a \\ a-2\\1}=0
[/mm]
1=0 [mm] E_{a} [/mm] ist nicht orthogonal zur x-y- Ebene
[mm] \vektor{1 \\ -1\\-2}x\vektor{3 \\ 2\\1}=\vektor{3 \\ 5\\5} [/mm] 3a+5a-10+5 -> a=3 k=5
[mm] \vektor{a \\ a-2\\1}k=\vektor{3 \\ 5\\5} [/mm] 5a-10=5
5*3-10=5
5=5
G: [mm] [\vec{x}-\vektor{0 \\ 0\\4}]\vektor{3 \\ 5\\5}=0
[/mm]
Stimmt meine Rechnung?
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> Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(2,1,3) und
> B(1,2,5).
> Die Ebene F enthält die Punkte P(3,1,2), Q(5,2,1) und
> R(-1,-4,1).
> Die Ebene [mm]E_{3}[/mm] mit der Gleichung 3x+y+z-4=0 ist eine Ebene
> der Schar [mm]E_{a}[/mm] mit der Gleichung [mm][\vec{x}- \vektor{-1 \\ 1\\6}]*\vektor{a \\ a-2\\1}=0.[/mm]
> a Element R
>
> Aufgabe 2.2.4
> Zeigen Sie, dass keine Ebene der Schar [mm]E_{a}[/mm] parallel zur
> z- Achse verläuft. Zeigen Sie, dass keine Ebene der Schar
> [mm]E_{a}[/mm] orthogonal zur x-y Ebene verläuft.
> Die Ebene G enthält die Schnittgerade s: [mm]\vec{x}= \vektor{0 \\ 0\\ 4}+u \vektor{1\\ -1\\ -2}[/mm]
> und ist keine Ebene der Schar [mm]E_{a}.[/mm] Bestimmen Sie eine
> Gleichung der Ebene G.
Hallo,
ein Tip, nicht zuletzt auch für Klausuren und fürs Abi:
rechne nicht einfach drauflos, sondern sag kurz, was Du weshalb tust.
Das ist eine Hilfe für einen selbst, aber auch für den, der's korrigieren soll.
> [mm]\vektor{0 \\ 0\\1}*\vektor{a \\ a-2\\1}=0[/mm]
>
> 1=0 [mm]E_{a}[/mm] ist nicht orthogonal zur x-y- Ebene
Das ist richtig.
>
> [mm]\vektor{1 \\ -1\\-2}x\vektor{3 \\ 2\\1}=\vektor{3 \\ 5\\5}[/mm]
Hier erschließt sich für mich nicht, wo Du den Vektor [mm] \vektor{3 \\ 2\\1} [/mm] hernimmst.
Beim Kreuzprodukt hast Du Dich verrechnet.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:19 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Adamantin |
Aufgabe
Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(2,1,3) und B(1,2,5).
Die Ebene F enthält die Punkte P(3,1,2), Q(5,2,1) und R(-1,-4,1).
Die Ebene $ [mm] E_{3} [/mm] $ mit der Gleichung 3x+y+z-4=0 ist eine Ebene der Schar $ [mm] E_{a} [/mm] $ mit der Gleichung $ [mm] [\vec{x}- \vektor{-1 \\ 1\\6}]\cdot{}\vektor{a \\ a-2\\1}=0. [/mm] $ a Element R
Aufgabe 2.2.4
Zeigen Sie, dass keine Ebene der Schar $ [mm] E_{a} [/mm] $ parallel zur z- Achse verläuft. Zeigen Sie, dass keine Ebene der Schar $ [mm] E_{a} [/mm] $ orthogonal zur x-y Ebene verläuft.
Die Ebene G enthält die Schnittgerade s: $ [mm] \vec{x}= \vektor{0 \\ 0\\ 4}+u \vektor{1\\ -1\\ -2} [/mm] $
und ist keine Ebene der Schar $ [mm] E_{a}. [/mm] $ Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene G.
Ist ja schnell vorgerechnet:
Wenn keine Ebene der Schar [mm] E_a [/mm] parallel zur z-Achse verlaufen soll, darf der Vektor der z-Achse niemals in der Ebenenschar auftauchen und es darf keinen Vektor geben, der darauf orthogonal steht, verständlich?
$ [mm] \vec{n}=\vektor{ 1 \\ 1\\ 0} [/mm] $ Dieser Vektor wäre ein orthogonaler Vektor zur z-Achse
1=a
1=a-2
0=1
Dies gilt für alle vektoren der x-y-Ebene, die ja alle orthogonal wären, also auch [mm] \vektor{ 1 \\ 0\\ 0} [/mm] oder [mm] \vektor{ 0 \\ 1\\ 0}. [/mm] Du erhälst aufgrund des Normalenvektors mit 1 am Ende immer eine falsche Aussage der Form 0=1.
Damit enthält keine Ebene der Schar [mm] E_a [/mm] die z-Achse bzw ist mit dieser parallel.
x-y-Ebene hast du ja schon selbst gelöst.
Übrigens reicht ein Nachweis von einer der beiden Behauptungen, denn die sind ja äquivalent. Wenn du nachweißt, dass keine Ebene der Schar parallel zur z-Achse ist, ist auch keine orthogonal zur x-y-Ebene und umgekehrt. Mit dem Beweis, dass der n-Vektor niemals orthogonal auf x-y steht, hast du auch bewiesen, dass keine z enthält.
Nun, wenn G nicht Teil von [mm] E_a [/mm] sein soll, können wir doch unser Wissen von oben verwenden. Denn [mm] E_a [/mm] darf nicht parallel zur z-Achse verlaufen, also nutzen wir einfach einen Normalenvektor, der orthogonal zur z-Achse ist!
$ [mm] G:[\vec{x}-\vektor{0 \\ 0 \\ 4}]*\vektor{ 1 \\ 1\\ 0}=\vec{0} [/mm] $
Alternativ hättest du auch zu der Schnittgeraden den Vektor der z-Achse hinzufügen können:
$ [mm] G:\vec{x}= \vektor{0 \\ 0\\ 4}+u \vektor{1\\ -1\\ -2}+s*\vektor{0\\ 0\\ 1} [/mm] $
Kreuzprodukt: $ [mm] \vektor{1\\ -1\\ -2}x\vektor{0\\ 0\\ 1}=\vektor{-1\\ 1\\ 0} [/mm] $
Wie du siehst, der selbe Vektor, wenn es darum geht, dass er in der x-y-Ebene liegt. Damit hast du zwei Möglichkeiten für G
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