Analytische Funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Bunnyka |
Hallo.
Kann mir jemand erklären, wie ich bestimme, ob eine Funktion analytisch ist?
Es handelt sich speziell um foldende Aufgabe:
[mm] f:\IC\setminus \{-i,i\} \rightarrow\IC
[/mm]
[mm] f(z):=\bruch{1}{(1+z^2)}
[/mm]
Bitte helft mir...
Gruß Bunnyka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Bunnyka,
dir ein herzliches
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Eine Funktion ist doch dann analytisch, wenn sie lokal durch eine Potenzreihe darstellbar ist. Aus der Funktionentheorie kennt man den Satz:
Eine auf $U$ holomorphe Funktion $f$ ist um jeden Punkt [mm] $z_0\in [/mm] U$ in einer Potenzreihe entwickelbar.
Dabei ist diese Potenzreihe eindeutig durch die Taylorreihe gegeben. Kannst du jetzt damit entscheiden, ob dein Beispiel analytisch ist?
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Bunnyka |
Na ja, vom Prinzip versteh ich, was du meinst, aber irgendwie bekomme ich das nicht hin...
ich hab ehrlich gesagt keine ahnung, wie ich von dieser Funktion eine Potenzreihe bilden kann...
wenn mir jetzt noch jemand sagen könnte, wie ich von meiner Funktion eine Pot.reihe bilde, krieg ich das vll hin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Bunnyka,
du kennst aber die Taylorentwicklung? Die Funktion $f$ ist in
[mm] $f(z)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k (z-z_0)^k$
[/mm]
entwickelbar. Die Koeffizienten sind durch $f$ eindeutig bestimmt:
[mm] $a_k=\frac{f^{(k)}(z_0)}{k!}$
[/mm]
Das gilt aber nur, wenn $f$ in einer offenen Umgebung von [mm] $z_0$ [/mm] komplex differenzierbar ist.
Gruß Max
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