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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:18 Mi 16.02.2005 | | Autor: | double |
Gegeben [mm] f(x)=x^2+ax+b [/mm] mit a,b Element aus [0;1].
Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass f(x) keine, eine oder zwei Nullstellen hat.
Unser Lehrer gab uns noch folgenden Tipp: Integral
Wie kann man in dieser Aufgabe den Integral benutzen?
Wie komme ich auf einen Lösungsansatz?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Mi 16.02.2005 | | Autor: | Hexe |
also nen direkten Ansatz weiss ich auch net
Es ist ja so das Extrema der Stammfunktion Nullstellen der Funktion sind. Habt ihr vielleicht irgendwas über die Wahrscheinlichkeit von Extrema der Funktion 1/3 [mm] x^3+a/2*x^2+bx [/mm] gehabt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Mi 16.02.2005 | | Autor: | double |
Bisher haben wir noch nie Analysis mit Stochastik verbunden. Unser letztes Thema war Hypothesentesten.
Bis auf folgendes bin ich bisher gekommen:
1) Kann die Gleichung nach x auflösen duch pq-Formel:
1 NST bei 0 = 1/4 a² - b
2 NST 0 < 1/4 a² - b
keine NST 0 > 1/4 a² -b
Wie kann ich jetzt weiter machen?
Sry hatte das gleiche als Mitteilung geschrieben!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Mi 16.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Das ist richtig!
Jetzt bestimme doch mal innerhalb des Quadrates $[0,1] [mm] \times [/mm] [0,1]$ die Fläche derjenigen Paare $(a,b)$, für die zwei Nullstellen existieren, für die also [mm] $b<\frac{1}{4}a^2$ [/mm] gilt.
Na, das ist einfach ein Integral!
Nämlich:
[mm] $\int\limits_0^1 \int\limits_0^{\frac{1}{4}a^2} [/mm] 1 [mm] \, db\, [/mm] da$.
Verstehst du das?
Es muss ja $0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] 1$, $0 [mm] \le [/mm] b [mm] \le \frac{1}{4}a^2$ [/mm] gelten...
Rechne das mal bitte aus...
Erst das innere Integral, dann das äußere...
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Mi 16.02.2005 | | Autor: | double |
Also erst mal folgende weitere Fragen:
Wie kommt man auf ein Quadrat, warum ein Quadrat????
Und warum betrachten wir nur die Stellen an denen zwei NST existieren?
Dann mit dem Integral, die Grenzen kann ich z.T. noch nachvollziehen, was aber heißt bitte 1dbda?
Soll ich die funktion [mm] f(x)=x^2+ax+b [/mm] zweimal mit unterschiedlichen Grenzen aufleiten? Und wie leitet man Grenzen mit zwei Variablen auf?
Bitte um HILFE!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mi 16.02.2005 | | Autor: | double |
Danke Julius....
Ich werde mal versuchen das vorzustellen.
Für die anderen dann wie?
Weil für das größer als 1/4 [mm] a^2 [/mm] weiß ich nicht was ich verändern muss!
bzw. für das = 1/4 [mm] a^2
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Do 17.02.2005 | | Autor: | leduart |
Hallö
Deine a,b sollen doch aus dem Intervall [0,1] stammen. da es immer ein Paar von Zahlen ist, stellst du sie dir iny-Richtung und x Richtung aufgrtragen vor. b nach oben, a nach rechts. jetzt hast du für Nullstellen die Bedingung b< [mm] \bruch{1}{4}*a^{2}. [/mm] das sind alle Punkte unter (und auf der Parabel [mm] b=\bruch{1}{4}*a^{2}. [/mm] Die Menge der Punkte unter der Parabel zur Menge der Punkte insgesamt verhält sich wie die Fläche unter der Parabel (von 0 bis 1) zur Fläche des Einheitsquadrats!
Hilft das deiner Vorstellung? Sonst zeichne es mal auf und guck ein paar Pkt. die passen an.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Do 17.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Die Wahrscheinlichkeit, dass es keine Nullstellen gibt, ist dann:
$1 - [mm] \int\limits_0^1 \frac{1}{4}a^2\, [/mm] da$.
Die Wahrscheinlichkeit, dass es genau eine Nullstelle gibt, ist $0$!
Zwar gibt es Paare $(a,b(a))$ mit [mm] $b(a)=\frac{1}{4}a^2$, [/mm] jedoch liegen diese alle auf einer Parabel, und eine Parabel hat keine positive Fläche ("geometrische Wahrscheinlichkeit") im Zweidimensionalen.
Das ist ein Paradoxon in Nicht-Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsräumen:
Es gibt mögliche Ereignisse, die aber trotzdem keine positive Wahrscheinlichkeit besitzen!
Viele Grüße
Julius
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, daher habe ich zu mathematisch argumentiert 
):
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