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HI!
Ich habe eine Frage, wo ich gar nicht so ganz weiß, wie ich die analytisch lösen soll. sie lautet:
Ein Rechteck hat den gegebenen Umfang U. Die LÄnge des Rechtsecks fassen wir als Variable von x auf. Die Breite y des Rechtecks ist dann eine Funktion von x(bei festem U). Bestimmte die Funktion
Welche Länge x und Breite y müssen die Rechteckseiten (in Abhängigkeit von U) haben, damit sich die Rechteckfläche ein Maximum annimmt? Die Begründung dafür, dass es sich tatsächlich um ein Maximum handelt, nicht vergessen!!!!
Also, ich habe mir zunächst mal überlegt , was dieser gute Text den wohl heißen mag. die eine Rechteckseite a ist also =x, und b wäre dann doch y(x) (f(x)?), oder? Aber ich habe es mir aufgezeichnet, und irgendwie meine ich, der Flächeninhalt bleibt gleich, wenn der Umfang des Rechtecks gleich bleibt, oder irre ich da? Habe mir das echt nur so klarmachen können, und sehe nicht, dass sich die Fläche irgendwie ändert, wenn x+y=konstant U.
Kann mir jemand nen Tip geben bzw. vielleicht die Aufgabe nochmal richtig erklären? Wir machen zur Zeit unbestimmte Integrale? Kann es damit zusammenhängen?
Über jede noch so kleinste Hilfe wäre ich riesig dankbar!!!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:21 Do 27.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Moin Tintenfisch!
> Ein Rechteck hat den gegebenen Umfang U. Die LÄnge des
> Rechtsecks fassen wir als Variable von x auf. Die Breite y
> des Rechtecks ist dann eine Funktion von x(bei festem U).
> Bestimmte die Funktion
>
> Welche Länge x und Breite y müssen die Rechteckseiten (in
> Abhängigkeit von U) haben, damit sich die Rechteckfläche
> ein Maximum annimmt? Die Begründung dafür, dass es sich
> tatsächlich um ein Maximum handelt, nicht vergessen!!!!
Na, ein paar Hinweise können wir hier ja noch loswerden:
Umfang eines Rechteckes mit den Seiten $x$ und $y$:
$U \ = \ 2x + 2y \ = \ 2*(x+y) \ = \ const.$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$y \ = \ [mm] \bruch{U}{2} [/mm] - x$ [mm] $(\star)$
[/mm]
Flächeninhalt eines Rechteckes:
$A(x,y) \ = \ x*y$
Mit der o.g. Gleichung [mm] $(\star)$ [/mm] erhält man eine Funktion, die nur noch von der Variablen $x$ abhängig ist:
$A(x) \ = \ [mm] x*\left( \bruch{U}{2} - x \right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{U}{2}*x [/mm] - [mm] x^2$
[/mm]
Mit dieser Funktion ist nun eine Extremwertberechnung durchzuführen.
Mit Integralrechnung hat das hier weniger (bis gar nichts) zu tun ...
Kommst du nun klar?
Gruß
Loddar
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Ach so, mir fehlte dieses Einsetzen in die Gleichung für den Flächeninhalt.
Jetzt muss ich also "nur " für die Gleichung die Maximumstelle(bzw den -Punkt) ausrechnen und dann habe ich ja x und y richtig?
Das ist ja super!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:44 Do 27.01.2005 | | Autor: | Loddar |
> Jetzt muss ich also "nur " für die Gleichung die
> Maximumstelle(bzw den -Punkt) ausrechnen und dann habe ich
> ja x und y richtig?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ganz genau !!
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Also, ich habe erstmal die zwei Ableitungen , die ich für Extremwerte brauche, gemacht:
A'(x)= -2x + [mm] \bruch{U}{2}
[/mm]
und A''(x)= -2
Dann setze ich A'(x) =0 (notendige BEdingung)
und bekomme x= - [mm] \bruch{U}{4}
[/mm]
Dann sie hinreichende Bedingung: A''(x)
A''(- [mm] \bruch{U}{4}) [/mm] =-2
Also handelt es sich um ein Maximum(was es ja auch tun soll).
Dann habe ich - [mm] \bruch{U}{4} [/mm] in die Ausgangsgleichung eingesetzt, und so M( - [mm] \bruch{u}{4} [/mm] / ( - [mm] \bruch{U²}{16}- \bruch{U}{18}))
[/mm]
Also ist das ja nun dann Abhängig von dem Umfang. Was mich nur echt wundert ist, dass das alles negativ ist.
Also muss eines ungefähr ein Viertel des Umfangs sein, und die andere Seite halt der y Wert,oder?
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Ich erhalte aus: [mm] $\bruch{U}{2} [/mm] - 2x \ = \ 0$ [mm] $\gdw$ $x_E [/mm] \ = \ [mm] \red{+}\bruch{U}{4}$
[/mm]