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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Di 03.03.2015 | | Autor: | OxOO1 |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die durch [mm] $f(x)=\frac{2x^3-1}{x^2+2}$ [/mm] gegebene Funktion [mm] $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] auf das Vorliegen einer schrägen Asymptote für [mm] $x\rightarrow \infinity$ [/mm] und geben Sie diese gegebenenfalls an. |
So als erstes schaue ich mir nun also Zähler- und Nennergrad an, in der uns vorliegenden Funktion haben wir den Zählergrad von $3$ und den Nennergrad von $2$, da wir jetzt wissen das Zählergrad = Nennergrad+1 liegt eine schräge Asymptote vor. Zur Bestimmung dieser führen wir zunächst eine Polynomdivision durch:
[mm] $(2x^3-1) [/mm] : [mm] (x^2+2) [/mm] = 2x+ [mm] \frac{-4x-1}{x^2+2}$
[/mm]
Wir betrachten nun den Grenzwert des Restterms:
[mm] $\limes_{x\rightarrow\infty} (\frac{-4x-1}{x^2+2}) [/mm] = 0$
Daher bleibt nur noch $2x$, somit ist die schiefe Asymptote bei $g(x)=2x$.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Di 03.03.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Untersuchen Sie die durch [mm]f(x)=\frac{2x^3-1}{x^2+2}[/mm]
> gegebene Funktion [mm]f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/mm] auf
> das Vorliegen einer schrägen Asymptote für [mm]x\rightarrow \infinity[/mm]
> und geben Sie diese gegebenenfalls an.
> So als erstes schaue ich mir nun also Zähler- und
> Nennergrad an, in der uns vorliegenden Funktion haben wir
> den Zählergrad von [mm]3[/mm] und den Nennergrad von [mm]2[/mm], da wir
> jetzt wissen das Zählergrad = Nennergrad+1 liegt eine
> schräge Asymptote vor. Zur Bestimmung dieser führen wir
> zunächst eine Polynomdivision durch:
>
> [mm](2x^3-1) : (x^2+2) = 2x+ \frac{-4x-1}{x^2+2}[/mm]
Das ist ok.
>
> Wir betrachten nun den Grenzwert des Restterms:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (\frac{-4x-1}{x^2+2}) = 0[/mm]
Ok.
>
> Daher bleibt nur noch [mm]2x[/mm], somit ist die schiefe Asymptote
> bei [mm]g(x)=2x[/mm].
Auch korrekt.
Marius
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