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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Di 03.03.2015 | | Autor: | OxOO1 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie für die durch [mm] $f(x,y)=x^3y-xy^3$ [/mm] gegebene Funktion [mm] $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] die Richtungsableitung [mm] $\frac{\partial f}{\partial v}(1,1)$ [/mm] an der Stelle $(1,1)$ in Richtung des Einheitsvektors $v = [mm] (\frac{3}{5},\frac{4}{5}). [/mm] |
So bei dieser Aufgabe habe ich zu Begin erst einmal die partiellen Ableitungen nach $x$ und $y$ gemacht:
[mm] $f_x(x,y) [/mm] = [mm] 3x^2y-y^3$
[/mm]
[mm] $f_y(x,y) [/mm] = [mm] x^3-3xy^2$
[/mm]
Jetzt bilde ich den Gradienten und berechne den Wert im Punkt (1,1):
$grad(f) = [mm] $$3x^2y-y^3 \choose x^3-3xy^2$$ [/mm] = $$3-1 [mm] \choose [/mm] 1-3$$ = $$2 [mm] \choose [/mm] -2$
Jetzt berechne ich die Länge des Vektors und prüfe ob dieser $1$ ist:
|v| = [mm] \sqrt{(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2} [/mm] = [mm] \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} [/mm] = [mm] \sqrt{1} [/mm] = 1$
Jetzt bilde ich das Skalarprodukt und berechne die Richtungsableitung:
$2 [mm] \choose [/mm] -2 $$ [mm] \cdot [/mm] $$ [mm] \frac{3}{5} \choose \frac{4}{5}$$ [/mm] = [mm] \frac{-2}{5}$
[/mm]
Und hier haben wir hoffentlich die gesuchte Richtungsableitung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Di 03.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie für die durch [mm]$f(x,y)=x^3y-xy^3$[/mm] gegebene
> Funktion [mm]$f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$[/mm] die
> Richtungsableitung [mm]$\frac{\partial f}{\partial v}(1,1)$[/mm] an
> der Stelle $(1,1)$ in Richtung des Einheitsvektors $v =
> [mm](\frac{3}{5},\frac{4}{5}).[/mm]
> So bei dieser Aufgabe habe ich zu Begin erst einmal die
> partiellen Ableitungen nach [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] gemacht:
>
> [mm]f_x(x,y) = 3x^2y-y^3[/mm]
> [mm]f_y(x,y) = x^3-3xy^2[/mm]
>
> Jetzt bilde ich den Gradienten und berechne den Wert im
> Punkt (1,1):
>
> [mm]grad(f) = [/mm][mm]3x^2y-y^3 \choose x^3-3xy^2[/mm][mm] = [/mm][mm]3-1 \choose 1-3[/mm][mm] = [/mm][mm]2 \choose -2[/mm]
>
> Jetzt berechne ich die Länge des Vektors und prüfe ob
> dieser [mm]1[/mm] ist:
>
> |v| = [mm]\sqrt{(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2}[/mm] =
> [mm]\sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}}[/mm] = [mm]\sqrt{1}[/mm] = 1$
>
> Jetzt bilde ich das Skalarprodukt und berechne die
> Richtungsableitung:
>
> [mm]2 \choose -2[/mm][mm] \cdot[/mm][mm] \frac{3}{5} \choose \frac{4}{5}[/mm][mm] = \frac{-2}{5}[/mm]
>
> Und hier haben wir hoffentlich die gesuchte
> Richtungsableitung.
Alles bestens.
FRED
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