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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Mi 25.10.2006 | | Autor: | juthe |
| Aufgabe | Zeige für alle [mm] n\in\IN [/mm] und alle [mm] x\in\IR [/mm] , [mm] x\in [/mm] (0,1) :
[mm] (1-x)^{n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1+nx} [/mm] |
wir haben soweit induktiert, dass wir raushatten:
[mm] (1-x)^{n+1} [/mm] < [mm] \bruch{1-x²}{1+(n+1)x+nx²}, [/mm] da wir zu Beginn auf der rechten Seite mit (1+x) erweitert hatten.
Nun fragen wir uns, wie wir zum abschließenden Beweis rechnerisch kommen können. Denn bisher können wir nur duch Argumente den Beweis zu Ende bringen, in dem wir argumentieren, warum:
[mm] (1-x)^{n+1} [/mm] < [mm] \bruch{1-x²}{1+(n+1)x+nx²}<\bruch{1}{1+(n+1)x}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Mi 25.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Zeige für alle [mm]n\in\IN[/mm] und alle [mm]x\in\IR[/mm] , [mm]x\in[/mm] (0,1) :
> [mm](1-x)^{n}[/mm] < [mm]\bruch{1}{1+nx}[/mm]
> wir haben soweit induktiert, dass wir raushatten:
> [mm](1-x)^{n+1}[/mm] < [mm]\bruch{1-x²}{1+(n+1)x+nx²},[/mm] da wir zu Beginn
> auf der rechten Seite mit (1+x) erweitert hatten.
> Nun fragen wir uns, wie wir zum abschließenden Beweis
> rechnerisch kommen können. Denn bisher können wir nur duch
> Argumente den Beweis zu Ende bringen, in dem wir
> argumentieren, warum:
> [mm](1-x)^{n+1}[/mm] <
> [mm]\bruch{1-x²}{1+(n+1)x+nx²}<\bruch{1}{1+(n+1)x}[/mm]
Das (nämlich ne Abschätzung) ist für Beweise mit Ungleichungen fast immer nötig.
[mm] hier:x^2>0 [/mm] und wenn man den nenner verkleinert wird der Bruch vergrößert, und wenn man den Zähler vergrößert wird der Bruch vergrößert
Wenn der Rest also richtig ist seid ihr fertig.
Gruss leduart
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