Analysis 3 - Abitur Gk 2005 < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Haloa Matheraum-User,
wir haben von unserer Lehrerin den Auftrag bekommen, ein Aufgabenblatt zu lösen, welches die Aubituraufgaben von diesem Jahr enthält.
Ich bin momentan bei der Aufgabe c) des Analysis 3 Blattes.
Nun zur Aufgabe:
Ich soll anhand einer Aufzeichnungsskizze einer Wetterstation mit einem Graphen drauf und der dazugehörigen Funktion f, den Niederschlag in einem Intervall von 0.00 Uhr - 20.00 Uhr ausrechnen.
Ich denke, dass der richtige Lösungsweg über die Integralrechnung führt, indem man das Integral von der Funktion f über dem Intervall von 0-20 ausrechnet.
Ich kann jedoch nicht die nötige Stammfunktion bilden von:
f(x)= [mm] 80*e^{0,1x} -x^2 [/mm] -40
Ich bedanke mich schonmal für Eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MfG
SpeedY
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Vielen Dank für Ihre Lösungshinweise.
Mir ist bewußt, wie die einzelnen Ableitungregeln lauten und ich weiß auch sie einzusetzen. Es handelt sich hier um eine Stammfunktion und ich bin mit meinem Latein am Ende...
Die Einteilung der x-Achse entspricht der Zeit in Stunden und die Funktion f ist die dazugehörige Funktion zu dem abgebildetem Graphen. Ich bitte um Hilfe, damit ich in Zukunft die Stammfunktion solcher e-Funktionen mit einem Faktor im Exponenten selbstständig lösen kann!
MfG
Speedy
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Hi, Speedy,
hier erst mal die "Grundregeln", die Du zum Integrieren brauchst:
(1) Konstante (hier: 40) werden beim Integrieren mit der Integrationsvariablen multipliziert (=> 40x)
(2) Potenzen der Variablen, also Terme der Art [mm] x^{k} [/mm] (bei Dir: [mm] x^{2}, [/mm] werden beim Integrieren zu: [mm] \bruch{1}{k+1}*x^{k+1} [/mm] (klar: außer für k=-1; dort kommt der ln ins Spiel!). Bei Dir: [mm] \bruch{1}{3}*x^{3}.
[/mm]
(3) Exponentialfunktionen der Art [mm] e^{kx} [/mm] (bei Dir: [mm] e^{0,1x}) [/mm] werden beim Integrieren zu [mm] \bruch{1}{k}*e^{kx} [/mm] (VORSICHT! Hier nicht mit der Regel von Punkt (2) arbeiten!). Bei Dir: [mm] \bruch{1}{0,1}*e^{0,1x} [/mm] = [mm] 10*e^{0,1x}
[/mm]
Drum also:
[mm] \integral{(80*e^{0,1x} - x^{2} - 40)dx} [/mm] = [mm] 80*10*e^{0,1x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*x^{3} [/mm] -40x + c
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Vielen Dank für die schnelle und verständliche Hilfe bei der Aufgabe... besteht eigentlich Interesse an den Aufgaben vom Abitur 2005 GK Mathematik? Ich würde sie einscannen und hochladen...
MfG
Speedy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Do 17.03.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Speedy,
also: ich hätt' schon Interesse an den Aufgaben.
Bin sozusagen "Sammler" von AP-Aufgaben und immer wieder überrascht, was so an neuen Ideen noch zu finden ist!
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> Vielen Dank für Ihre Lösungshinweise.
> Mir ist bewußt, wie die einzelnen Ableitungregeln lauten
> und ich weiß auch sie einzusetzen. Es handelt sich hier um
> eine Stammfunktion und ich bin mit meinem Latein am
> Ende...
ich meinte natürlich die  Integrationsregeln ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
> Die Einteilung der x-Achse entspricht der Zeit in Stunden
> und die Funktion f ist die dazugehörige Funktion zu dem
> abgebildetem Graphen. Ich bitte um Hilfe, damit ich in
> Zukunft die Stammfunktion solcher e-Funktionen mit einem
> Faktor im Exponenten selbstständig lösen kann!
>
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...Ich muss jetzt nochmal fragen, ob ihr das selbe Ergebnis bekommt wenn man für die Intervallgrenze a=0 und b=20 hat!
Ich komme auf 13.416.06802 Das ist in meinen Augen unrealitisch, da es um den Niederschlag von 0 - 20.00 Uhr geht und dieser in Litern angegeben werden soll.
Vielen Dank
In der Anlage das Aufgabenblatt mit Anhang
MfG
SpeedY
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: tif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Fr 18.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sebastian,
wie lautet denn Deine Stammfunktion?
Ich habe jedenfalls als Ergebnis erhalten:
[mm] $\integral_{0}^{20} {\left(80 * e^{0,1*x} - x^2 - 40\right) \ dx} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 1645$
Gruß
Loddar
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...die Stammfunktion findest du in den oberen Antworten
[mm] 80\cdot{}10\cdot{}e^{0,1x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}\cdot{}x^{3} [/mm] -40x
...Ich habe nun auch etwas mit 1645 raus, nur ist das unrealistisch, da keine 1645 Liter in das Gefäß der Wetterstation. Kann denn nochmal jemand anderes dazu Stellung nehmen?
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Hallo.
Also rein mathematisch ist das Ergebnis meiner Auffassung nach richtig,
zum Ansatz/ der Formel kann ich allerdings wenig sagen, da ich die genaue Aufgabenstellung nicht kenne.
Gruß,
Christian
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...ich habe die Aufgabenstellung in meiner letzten Frage angehängt. Könntest du dir die Aufgabe 3c) mal ansehen? Ich bin mir nicht sicher, vorallem, weil es in den nächsten Aufgaben auch um die Interpretation von den Ergebnissen geht!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Fr 18.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sebastian!
Wenn Du diese angesprochene Gerade eingezeichnet hast, erhältst Du eine "Kurve" für die durchschnittliche Regenmenge im angesprochenen Zeitintervall.
Wenn Du nun die Steigung dieser Geraden bestimmst, hast Du eine durchschnittliche "Regengeschwindigkeit":
$m \ = \ [mm] \bruch{\Delta y}{\Delta x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{150 - 40}{20 - 0} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Fr 18.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sebastian!
Ich glaube, wir betrachten gerade die falsche Funktion!!!
Es ist gefragt nach der gefallenen Wassermenge zwischen 0 Uhr und 20 Uhr !!
Bei dieser Fragestellung muß für unsere gesuchte Funktion ja zum Zeitpunkt 0 Uhr auch die Wassermenge 0 Liter herauskommen.
Unsere zu integrierende Funktion lautet demnach:
$w(x) \ = \ f(x) \ [mm] \red{- \ 40} [/mm] \ = \ 80 * [mm] e^{0,1*x} [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - 40 \ [mm] \red{- \ 40} [/mm] \ = \ 80 * [mm] e^{0,1*x} [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - [mm] \red{80}$
[/mm]
Sieh' Dir auch mal die Kurve an. Da befinden sich zum Zeitpunkt 0 Uhr bereits 40 Liter Wasser im Gefäß.
Damit wird die gesuchte Wassermenge berechnet mit:
[mm] $\integral_{0}^{20} [/mm] {w(x) \ dx} \ = \ [mm] \integral_{0}^{20} {\left(80 * e^{0,1*x} - x^2 - 80\right) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \left[ 800 * e^{0,1*x} - \bruch{x^3}{3} - 80x\right]_0^{20} [/mm] \ = \ ...$
Einfacher gerechnet kannst Du auch unser Ergebnis von 1645 nehmen und die Fläche des Rechteckes $40 \ l/h × 20 \ h \ = \ 800 \ l$ wieder abziehen (siehe Skizze aus Aufgabenstellung).
Zwischen 0 Uhr und 20 Uhr sind also "nur" ca. 845 Liter gefallen ...
Gruß
Loddar
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Okay, ich denke ich verstehe deinen Gedankengang, ist auch logisch!  Wenn ich nun eine Gerade durch den Anfangspunkt bei (0/40) und den höchsten Punkt zeichne hab ich doch den Trend des Niederschlages, oder wie drücke ich das besser aus?
Vielen Dank für deine schnellen und verständlichen Antworten!
MfG
SpeedY
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Sa 19.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo SpeedY!
> Wenn ich nun eine Gerade durch den Anfangspunkt bei (0/40)
> und den höchsten Punkt zeichne hab ich doch den Trend des
> Niederschlages, oder wie drücke ich das besser aus?
Ich kann mich nur zu meiner obigen Antwort ("Durchschnittl. Regenmenge") wiederholen:
Ich würde das als durchschnittliche zeitbezogene Regenmenge bezeichnen (oder wie ich oben salopp geschrieben habe, was natürlich physikalisch mehr als ungenau ist: "durchschn. Regenfallgeschwindigkeit").
Gruß
Loddar
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Haloa Matheraum-User,
ich bin grad völlig blockiert und weiß nicht mehr wie ich die Funktion f ableite:
f(x)= [mm] 80*e^{0,1x} -x^2 [/mm] -40
Mein Problem besteht in der Ableitung von [mm] 80*e^{0,1x} [/mm] ! Vielen Dank für eure Hilfe...
MfG
SpeedY
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Hi SpeedY,
auch wenn es dir bestimmt morgen früh wieder eingefallen wäre:
Du musst hier die Kettenregel benutzen. Salopp ausgedrückt: Zuerst die äußere Ableitung berechnen, danach die innere dazumultiplizieren (das sog. "Nachdiffenzieren").
Erst einmal allgemein:
[mm](g(f(x)))' = g'(f(x)) * f'(x)[/mm]
Und jetzt bei dir ([mm]g(y) = e^y; f(x) = 0,1*x[/mm]):
[mm](e^{0,1*x})' = e^{0,1*x} * (0,1*x)' = 0,1 * e^{0,1*x}[/mm]
Gruss,
Michael
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Hallo,
ich habe jetzt für die Ableitungen folgende Ergebnisse:
f'(x)= 8 [mm] *e^{0,1x} [/mm] -2x
f''(x)= 0,8 [mm] *e^{0,1x} [/mm] -2
Sind die Ableitungen soweit richtig?
MfG
SpeedY
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:21 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Sebastian!
> [mm]f'(x) = 8*e^{0,1x} - 2x[/mm]
> [mm]f''(x) = 0,8*e^{0,1x} - 2[/mm]
>
> Sind die Ableitungen soweit richtig?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ganz genau ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Do 05.05.2005 | | Autor: | scat |
Hallo miteinander,
ich habe mir die Aufgabe mal zu Übungszwecken angeschaut und irgendwie sind mir die Ableitungen unklar.
[mm]f(x)=80*e^{0,1x}-x^2-40[/mm]
Dann bei der ersten Ableitung fällt doch das 80 heraus oder?
Dann würde dies doch abgeleitet nach der kettenregel nur noch:
[mm]f'(x)= 0,1*e^{0,1x}-2x [/mm] lauten ??? Oder habe ich da was übersehen?
Danke und Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:19 Do 05.05.2005 | | Autor: | scat |
Danke Dir für den Hinweis!
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Nein, da mißachtest Du ja die ![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Konstante Faktoren bleiben ja beim Ableiten erhalten!
