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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = [mm] 3x^4-12x^3+12x^2-3
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Nullstellen, die Lage und Art der Extremwerte sowie die Lage der Wendepunkte der Funktion f
b) Stellen Sie die Funktion f grafisch dar. |
Hallo zusammen.
Habe das mal alles ausgerechnet und wäre sehr sehr dankbar wenn sich das mal jemand durchschauen könnte ob da was falsch ist:)
Nullstellen:
[mm] 3x^4-12x^3+12x^2-3=0 [/mm] |:3
[mm] x^4-4x^3+4x^2-1 [/mm] =0 |x^2ausklammern
[mm] x^2(x^2-4x+3) [/mm] =0 |pq Formel anwenden
Daraus folgt 1.Nullstelle = 0(wegen dem ausklammern von x), 2. Nullstelle = 1, 3.Nullstelle = 3.
Lage der Extremstellen:
f'= [mm] 12x^3-36x^2+24x
[/mm]
f'= [mm] 12x^3-36x^2+24x [/mm] = 0 |:12
f'= [mm] x^3-3x^2+2x [/mm] = 0 |x ausklammern
f'= [mm] x(x^2-3x+2) [/mm] |pq Formel anwenden
1.Extremstelle = 0, 2. Stelle = 1, 3.Stelle = 2
Art der Extremwerte:
f''= [mm] 36x^2-72x+24
[/mm]
f''(0) = 24
f''(2) = 24, also Minimum
f''(1) = -12, also Maximum
Bei der Lage der Wendepunkte komme ich nicht ganz weiter. Ich habe mal so angefangen:
[mm] 36x^2-72x+24 [/mm] = 0 |:36
[mm] x^2-2x+0,6 [/mm] = 0
??
Bitte um Hilfe!
Dankeschööön! :)
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Hallo,
> Nullstellen:
> [mm]3x^4-12x^3+12x^2-3=0[/mm] |:3
> [mm]x^4-4x^3+4x^2-1[/mm] =0 |x^2ausklammern
> [mm]x^2(x^2-4x+3)[/mm] =0 |pq Formel anwenden
Das ist leider ganz falsch. Genauer gesagt: der letzte Schritt ist falsch. Wenn du [mm] x^2 [/mm] ausklammerst und machst es richtig, dann entsteht ein echt gebrochen-rationaler Summand in der Klammer. Dann ist auch nix mehr mit dem Satz vom Nullprodukt. 
Man kann hier duch 'scharfes Hinsehen' die Doppellösung
[mm] x_{1,2}=1
[/mm]
ablesen, diese per Polynomdivision abspalten und auf das resultierende quadratische Polynom die pq-Formel anwenden.
> Lage der Extremstellen:
>
> f'= [mm]12x^3-36x^2+24x[/mm]
> f'= [mm]12x^3-36x^2+24x[/mm] = 0 |:12
> f'= [mm]x^3-3x^2+2x[/mm] = 0 |x ausklammern
> f'= [mm]x(x^2-3x+2)[/mm] |pq Formel anwenden
>
> 1.Extremstelle = 0, 2. Stelle = 1, 3.Stelle = 2
Das ist richtig.
> Art der Extremwerte:
>
> f''= [mm]36x^2-72x+24[/mm]
> f''(0) = 24
> f''(2) = 24, also Minimum
> f''(1) = -12, also Maximum
Auch das ist richtig. Du musst aber im Rahmen einer Kurvendiskussion unbedingt die zugehörigen Funktionswerte mit angeben!
> Bei der Lage der Wendepunkte komme ich nicht ganz weiter.
> Ich habe mal so angefangen:
>
> [mm]36x^2-72x+24[/mm] = 0 |:36
> [mm]x^2-2x+0,6[/mm] = 0
Wenn schon dividieren, dann richtig. Du hast hier einfach einen Koeffizienten gerundet, das ist ja klar, dass dann nichts vernünftiges mehr herauskommt.
Ich würde durch 12 teilen:
[mm] 3x^2-6x+2=0
[/mm]
und jetzt die pq-Formel anwenden.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 Di 14.02.2012 | | Autor: | GrueneFee |
Danke für die schnelle Hilfe!
Das ich bei dem Ausklammern von [mm] x^2 [/mm] irgendwie was falsch mache, dachte ich mir schon ;)
Aber gut, werde dann die Polynomdivision anwenden und mit der pq Formel ausrechnen.
Sonst ist jetzt alles klar für mich, danke!
Gruß,
Die Gruene_Fee
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