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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Mi 04.10.2006 | | Autor: | Cutie |
| Aufgabe | Bestimme jeweils alle x e R, die die angegebenen Ungleichungen erfüllen.
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Kann mir jemand anhand dieses beispiles ungleichungen erklären.
a) -x/(5+x) > 1/(3-x)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Mi 04.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Bestimme jeweils alle x e R, die die angegebenen
> Ungleichungen erfüllen.
>
>
> Kann mir jemand anhand dieses beispiles ungleichungen
> erklären.
>
> a) -x/(5+x) > 1/(3-x)
Im Grunde genommen kannst du das ganze wie eine Gleichung umformen.
Also
[mm] \bruch{-x}{5+x}>\bruch{1}{3-x}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] -x(3-x)>5+x
[mm] \gdw [/mm] x²-4x-5>0
[mm] \Rightarrow [/mm] x<-1 [mm] \vee [/mm] x>5
Hier bin ich im ersten Schritt allerdings stillschweigend davon ausgegangen,dass sowohl 3-x>0, als auch 5+x>0, d.h. [mm] x\in [/mm] ]-5;3[
Also muss ich zwei weitere Fälle betrachten, wodas nicht der Fall ist.
1) Gilt x<-5, so dreht sich das Ungleichungszeichen
[mm] \bruch{-x}{5+x}>\bruch{1}{3-x}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] -x(3-x)<5+x
[mm] \gdw [/mm] x²-4x-5<0
[mm] \Rightarrow [/mm] x>-1 [mm] \wedge [/mm] x<5, was im Widerspruch zu der Voraussetzung x<-5 ist, also gibt es für diesen Fall keine Lösung
2) Gilt x>3, so dreht sich das Ungleichungszeichen ebenfalls
[mm] \bruch{-x}{5+x}>\bruch{1}{3-x}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] -x(3-x)<5+x
[mm] \gdw [/mm] x²-4x-5<0
[mm] \Rightarrow [/mm] x>-1 [mm] \wedge [/mm] x<5,mit der Voraussetztng x>3, gibt es für diesen Fall die Lösung [mm] x\in]3;5[
[/mm]
Jetzt bleibt die Frage, was passiert,wenn x=3? Hier ist der Term nicht definiert.
Jetzt kannst du die Lösungsmengen von den drei Fällen zusammenfassen.
Also [mm] x\in [/mm] ]-5;3[ [mm] \vee x\in [/mm] ]3;5[ wird zu [mm] \{x\in\IR|-5
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Mi 04.10.2006 | | Autor: | Cutie |
Danke, für deine Hilfe.
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