An Stefan: SDE's < Versicherungsmat < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:54 Do 01.07.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan!
Ich hänge zur Zeit an den stochastischen SDE's, die die Zinsintensität beschreiben. Im Hinblick auf Existenz und Eindeutigkeit komme ich da beim CIR-Modell nicht weiter.
Da der Diffusionskoeffizient [mm] $\sigma(t,x)=\sigma\sqrt{x}$ [/mm] lautet, ist hier die geforderte Lipschitz-Bedingung nicht erfüllt. Meiner Ansicht nach ist auch die Wachstumsbedingung nicht erfüllt, aber das steht nirgends explizit. Auffällig ist aber, dass im Arnold und Karatzas/Shreve (KS) die Wachstumsbedingung aus dem Öksendal anders aufgeschrieben wird:
Öksendal:
[mm]|\mu(t,x)|+|\sigma(t,x)|\le C(1+|x|)[/mm]
KS:
[mm]|\mu(t,x)|^2+|\sigma(t,x)|^2\le C(1+|x|^2)[/mm]
1) Sind diese beiden Bedingungen äquivalent? Mir ist es nicht gelungen, die eine aus der anderen herzuleiten...
Im KS habe ich nun eine Proposition von Yamada/Watanabe gefunden (S. 291), bei der als Voraussetzung die Lipschitz-Bedingung nur für den Driftkoeffizienten angegeben wird (ist im CIR-Modell erfüllt) und außerdem
[mm]|\sigma(t,x)-\sigma(t,y)|\le h(|x-y|)\quad \forall t,x,y[/mm]
erfüllt sein muss, wobei [mm] $h:(0,\infty)\to(0,\infty)$ [/mm] eine streng monoton wachsende Funktion mit $h(0)=0$ und
[mm]\int_{(0,\epsilon)} h^{-2}(u)\,du=\infty\quad \forall \epsilon>0[/mm]
darstellt. Daraus folgt dann die starke Eindeutigkeit der Lösung der SDE.
Darunter steht auch als Beispiel, dass man [mm] $h(u)=u^\alpha$ [/mm] mit
[mm] $\alpha\ge [/mm] 1/2$ wählen kann (habe ich verifiziert).
2) Jetzt ist mein Problem, dass ich ja noch
[mm]|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\le \sqrt{|x-y|}[/mm]
zeigen muss. Und daran versuche ich mich schon den ganzen Tag...
Meine Ansätze gehen dabei über die Monotonie und Konkavität der Wurzelfunktion, aber das hilft bisher nicht weiter...
3) Außerdem habe ich dann nur die Eindeutigkeit gezeigt. Wie steht es aber mit der Existenz? Langt es dann, auf Brigo/Mercurio (o.ä.) zu verweisen, die ja die Lösung im Sinne der bedingten Verteilung angeben.
Lieben Dank für Deine Hilfe schon im Voraus.
Liebe Grüße
Brigitte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Do 01.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
> Da der Diffusionskoeffizient [mm]\sigma(t,x)=\sigma\sqrt{x}[/mm]
> lautet, ist hier die geforderte Lipschitz-Bedingung nicht
> erfüllt. Meiner Ansicht nach ist auch die
> Wachstumsbedingung nicht erfüllt,
Doch, die ist erfüllt, meiner Ansicht nach.
(Ich schreibe nächste Woche mehr dazu.)
> aber das steht nirgends
> explizit. Auffällig ist aber, dass im Arnold und
> Karatzas/Shreve (KS) die Wachstumsbedingung aus dem
> Öksendal anders aufgeschrieben wird:
>
> Öksendal:
> [mm]|\mu(t,x)|+|\sigma(t,x)|\le C(1+|x|)[/mm]
KS:
[mm]|\mu(t,x)|^2+|\sigma(t,x)|^2\le C(1+|x|^2)[/mm]
> [/mm][/mm]
> 1) Sind diese beiden Bedingungen äquivalent?
Ja, die sind auf jeden Fall äquivalent, natürlich mit jeweils anderen $C$'s. Da bin ich mir sehr sicher. Das ist ja nur für große Werte von $|x|$ interessant, und dort kommt es nur auf die höchste Potenz an. Wenn du möchtest, beweise ich dir das auch noch, aber nicht mehr heute, da ich für morgen meinen Kurs noch zu Ende vorbereiten muss. Das wird dann etwas technisch mit dem Beweis, aber das kriege ich auf jeden Fall hin.
> 2) Jetzt ist mein Problem, dass ich ja noch
[mm]|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\le \sqrt{|x-y|}[/mm]
> zeigen muss.
Okay. Das kriegen wir hin. Ohne Einschränkung sei [mm] $x\ge [/mm] y [mm] \ge [/mm] 0$. Dann gilt:
[mm] $(\sqrt{x} [/mm] - [mm] \sqrt{y})^2 [/mm] = x - [mm] 2\sqrt{x}\sqrt{y} [/mm] + y [mm] \le [/mm] x - 2y + y = x-y = |x-y|$,
also:
[mm] $|\sqrt{x} [/mm] - [mm] \sqrt{y}| \le \sqrt{|x-y|}$.
[/mm]
> 3) Außerdem habe ich dann nur die Eindeutigkeit gezeigt. Wie steht es aber mit der Existenz?
Da bin ich gerade überfragt, muss ich zugeben. Ich denke aber weiter darüber nach. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Do 01.07.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan!
> > lautet, ist hier die geforderte Lipschitz-Bedingung nicht
>
> > erfüllt. Meiner Ansicht nach ist auch die
> > Wachstumsbedingung nicht erfüllt,
... liegt dann wohl nur an meiner Unfähigkeit.
> Doch, die ist erfüllt, meiner Ansicht nach.
>
> (Ich schreibe nächste Woche mehr dazu.)
>
> > aber das steht nirgends
> > explizit. Auffällig ist aber, dass im Arnold und
> > Karatzas/Shreve (KS) die Wachstumsbedingung aus dem
> > Öksendal anders aufgeschrieben wird:
> >
> > Öksendal:
> > [mm]|\mu(t,x)|+|\sigma(t,x)|\le C(1+|x|)[/mm]
KS:
[mm]|\mu(t,x)|^2+|\sigma(t,x)|^2\le C(1+|x|^2)[/mm]
> > [/mm][/mm]
>
> > 1) Sind diese beiden Bedingungen äquivalent?
>
> Ja, die sind auf jeden Fall äquivalent, natürlich mit
> jeweils anderen [mm]C[/mm]'s. Da bin ich mir sehr sicher. Das ist ja
> nur für große Werte von [mm]|x|[/mm] interessant, und dort kommt es
> nur auf die höchste Potenz an. Wenn du möchtest, beweise
> ich dir das auch noch, aber nicht mehr heute, da ich für
> morgen meinen Kurs noch zu Ende vorbereiten muss. Das wird
> dann etwas technisch mit dem Beweis, aber das kriege ich
> auf jeden Fall hin.
Nicht nötig. Dann frage ich mich nur, wieso das nirgends als Bemerkung steht. Der Satz wird ja normalerweise lang und breit diskutiert. Meinst Du, ich sollte in der Diss dann auch eher die aus KS nehmen? Irgendwie komme ich mir blöd vor, dass ich da nicht das Standardwerk zitiere.
> > 2) Jetzt ist mein Problem, dass ich ja noch
>
> [mm]|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\le \sqrt{|x-y|}[/mm]
> zeigen muss.
Okay. Das kriegen wir hin. Ohne Einschränkung sei [mm]x\ge y \ge 0[/mm]. Dann gilt:
[mm](\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x - 2\sqrt{x}\sqrt{y} + y \le x - 2y + y = x-y = |x-y|[/mm],
Mann, so einfach. Das gibt's doch nicht. Danke!!!
> 3) Außerdem habe ich dann nur die Eindeutigkeit gezeigt. Wie steht es aber mit der Existenz?
Da bin ich gerade überfragt, muss ich zugeben. Ich denke aber weiter darüber nach.
Alles Gute für Deinen Kurs.
Liebe Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:53 Fr 02.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
> Nicht nötig.
Hmh, naja, dann eben nicht. 
> Dann frage ich mich nur, wieso das nirgends
> als Bemerkung steht. Der Satz wird ja normalerweise lang
> und breit diskutiert. Meinst Du, ich sollte in der Diss
> dann auch eher die aus KS nehmen? Irgendwie komme ich mir
> blöd vor, dass ich da nicht das Standardwerk zitiere.
Für mich ist der Karatzas-Shreve nicht unbedingt das Standardwerk. Das Standardwerk ist für mich der Arnold. Dort steht zwar bei weitem nicht so viel drin, aber das ist der Klassiker zum Thema und der wurde zum Thema Stochastische Differentialgleichungen bisher auch mit Abstand am häufigsten zitiert. Aber ich finde den Satz im Karatzas-Shreve schön und prägnant, von daher kannst du den ruhig so zitieren, meiner Meinung nach.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Fr 02.07.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan!
> > erfüllt. Meiner Ansicht nach ist auch die
> > Wachstumsbedingung nicht erfüllt,
>
> Doch, die ist erfüllt, meiner Ansicht nach.
>
> (Ich schreibe nächste Woche mehr dazu.)
Nicht nötig:
[mm] |b-ar| + |\sigma\sqrt{r}|\le b + a|r| + \sigma\sqrt{r}\le
b + a|r| + \sigma (1+|r|)\le (\max\{a,b\}+\sigma) (1+|r|)[/mm]
Da alle Parameter größer 0 sind, habe ich da die Beträge weggelassen. Hier setzt man aber außerdem voraus, dass $r>0$ gilt, sonst hat man natürlich ein Problem. Drehe ich mich da im Kreis, oder ist das OK?
Liebe Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:09 Fr 02.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Wenn man dich anstachelt, kannst du eigentlich alles.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Fr 02.07.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan!
> 3) Außerdem habe ich dann nur die Eindeutigkeit gezeigt. Wie steht es aber mit der Existenz?
Mit Andreas Hilfe habe ich jetzt mal den Ansatz gewagt (vgl. KS, Ex.2.20, S. 295, auch wenn [mm] $\sigma(t,r_t)\notin C^2$) [/mm] mit [mm] $f(r)=\frac{2}{\sigma}\sqrt{r}$ [/mm] zu "substituieren". Dann erhalte ich für [mm] $Y_t=f(r_t)$ [/mm] die SDE
[mm]dY_t=\left[c_1\frac{1}{Y_t} - c_2Y_t\right]\,dt+dW_t,\qquad Y_0=\frac{2}{\sigma}\sqrt{r_0}[/mm]
mit
[mm]c_1:=\frac{2b}{\sigma^2}-\frac{1}{2}\qquad und \qquad c_2:=\frac{a}{2}.[/mm]
Das ist eigentlich ganz schön, weil man dann nur noch additives Rauschen hat. Mit [mm] $Z_t=Y_t-W_t$ [/mm] ergibt sich daraus die pfadweise zu lösende deterministische DGL
[mm]dZ_t=\left[c_1\frac{1}{Z_t+W_t} - c_2(Z_t+W_t)\right]\,dt,\qquad Z_0=\frac{2}{\sigma}\sqrt{r_0}.[/mm]
Daran hänge ich nun. Ich wollte den Weg aber trotzdem mal mitteilen, falls Du Dir nächste Woche tatsächlich darüber Gedanken machst.
Na ja.
Liebe Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:41 Fr 02.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Okay, die Idee ist nicht schlecht. Das ist ja das, was wir auch schon mal gemacht hatten, im Björk (Seite 265, Aufgabe 17.8), die ich mal als Übungsaufgabe gestellt hatte. (Nur hatte der die Parameter so schön gewählt, dass das [mm] $c_1$, [/mm] was hier ja mächtig stört, weil das [mm] $Y_t$ [/mm] im Nenner steht, einfach wegfällt.)
Aber so richtig weiß ich jetzt nicht, wie man an der Stelle weitermachen kann, muss ich zugeben.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Fr 02.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
> 3) Außerdem habe ich dann nur die Eindeutigkeit gezeigt. Wie steht es aber mit der Existenz? Langt es dann, auf
> Brigo/Mercurio (o.ä.) zu verweisen, die ja die Lösung im Sinne der bedingten Verteilung angeben.
Also, ich denke mal das wird alles nicht so einfach.
Schau dir mal im Karatzas-Shreve auf Seite 341 das Korollar 5.16 und die Bemerkung 5.19 an (hierbei ist $S$ die Explosionszeit). Die Bedingung (LI) (Seite 339) ist ja zum Beispiel nicht erfüllt. Dann müsste man also (siehe Seite 343) auf die Bedingung (LI)' zurückgreifen (für [mm] $I=]0,+\infty[$) [/mm] und das wird dann blöd mit irgendwelchen Feller-Tests etc.
Hilfe!!! Da sehe ich im Moment schwarz, es sei denn wir finden doch noch irgendwo einen Artikel, wo das genau untersucht wurde.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:23 Fr 02.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Also, ich habe jetzt noch einmal lange darüber nachgedacht. Man darf zwar eigentlich das Korollar auf Seite 341 nicht anwenden, da ja [mm] $\sigma$ [/mm] nicht auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert ist. Aber, was soll denn passieren, wenn man alles auf [mm] $I=]0,+\infty[$ [/mm] einschränkt? Eigentlich kann das an der Existenz der Lösung überhaupt nichts ändern. Was theoretisch passieren könnte, und das ist das große Problem bei solchen SDE's, die nicht auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert sind, ist die Tatsache, dass sie theoretisch in den Rand reinlaufen können und es so zu einer "Explosion" kommt, falls die Parameter [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\sigma$ [/mm] auf dem Rand nicht definiert sind. (Und genau das wird ja ab Seite 342 unten nur noch untersucht! Ich hatte mich schon gewundert, warum ab da, bei der Betrachtung anderer Zeitachsen als [mm] $\IR$, [/mm] von Existenzfragen gar keine Rede mehr ist. Jetzt ist es mir klar: Weil das für die Existenzfrage einer Lösung bis zu einem gewissen Zeitpunkt an total irrelevant ist! Relevant sind dann nur die Fragen, wann es zu Explosionen kommt.) Wir müssten uns also Gedanken darüber machen, was passiert, wenn wir in die $0$ reinlaufen. Aber bei uns können wir ja die Parameter so wählen, dass der Prozess gar nicht in den Randpunkt $0$ laufen kann, er ist echt positiv. Von daher dürfte das kein Problem sein. Hier ist es also meiner Ansicht nach völlig wurscht, ob ich als Zeitachse [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $]0,+\infty[$ [/mm] wähle. Von daher könnte man Korollar 5.16 und Bemerkung 5.19 zitieren mit der Zusatzbemerkung, dass diese Sätze auch im Falle eines auf [mm] $]0,+\inft[$ [/mm] definierten Prozesses gelten, falls $X>0$ P-fast sicher gilt.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:43 Mo 05.07.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan!
> Also, ich habe jetzt noch einmal lange darüber nachgedacht.
> Man darf zwar eigentlich das Korollar auf Seite 341 nicht
> anwenden, da ja [mm]\sigma[/mm] nicht auf ganz [mm]\IR[/mm] definiert ist.
> Aber, was soll denn passieren, wenn man alles auf
> [mm]I=]0,+\infty[[/mm] einschränkt? Eigentlich kann das an der
> Existenz der Lösung überhaupt nichts ändern. Was
> theoretisch passieren könnte, und das ist das große Problem
> bei solchen SDE's, die nicht auf ganz [mm]\IR[/mm] definiert sind,
> ist die Tatsache, dass sie theoretisch in den Rand
> reinlaufen können und es so zu einer "Explosion" kommt,
> falls die Parameter [mm]\mu[/mm] und [mm]\sigma[/mm] auf dem Rand nicht
> definiert sind.
OK, das verstehe ich. Ja, ich finde es auch nicht weiter verwerflich, das Ganze auf [mm] $(0,+\infty)$ [/mm] einzuschränken.
> (Und genau das wird ja ab Seite 342 unten
> nur noch untersucht! Ich hatte mich schon gewundert, warum
> ab da, bei der Betrachtung anderer Zeitachsen als [mm]\IR[/mm], von
Kurze Zwischenfrage: Mit Zeitachse meinst Du die Werte, die der Prozess annehmen kann, oder? Sonst verstehe ich nicht, was Du meinst.
> Existenzfragen gar keine Rede mehr ist. Jetzt ist es mir
> klar: Weil das für die Existenzfrage einer Lösung bis zu
> einem gewissen Zeitpunkt an total irrelevant ist! Relevant
> sind dann nur die Fragen, wann es zu Explosionen kommt.)
> Wir müssten uns also Gedanken darüber machen, was passiert,
> wenn wir in die [mm]0[/mm] reinlaufen. Aber bei uns können wir ja
> die Parameter so wählen, dass der Prozess gar nicht in den
> Randpunkt [mm]0[/mm] laufen kann, er ist echt positiv. Von daher
> dürfte das kein Problem sein.
Das verstehe ich nicht so ganz. Explosion bedeutet doch, dass der Prozess nach oben abhaut (wenn wir mal davon ausgehen, dass wir nach unten durch 0 beschränkt sind). Diese Explosion kann nun nach diesem Korollar nicht stattfinden. OK. Aber was hat das damit zu tun, ob der Prozess in die 0 reinläuft. Dann würde die Lösung doch trotzdem existieren. Also da wäre ich dankbar, wenn Du noch etwas dazu schreiben könntest.
Oder ist es so, dass der Prozess "explodiert", wenn er in den Rand des Erlaubten kommt, vgl. (5.56) auf S. 343. Meinst Du das? Dann würde ich es verstehen.
> Hier ist es also meiner
> Ansicht nach völlig wurscht, ob ich als Zeitachse [mm]\IR[/mm] oder
> [mm]]0,+\infty[[/mm] wähle. Von daher könnte man Korollar 5.16 und
> Bemerkung 5.19 zitieren mit der Zusatzbemerkung, dass diese
> Sätze auch im Falle eines auf [mm]]0,+\inft[[/mm] definierten
> Prozesses gelten, falls [mm]X>0[/mm] P-fast sicher gilt.
Ich denke schon, dass das funktioniert. Aber ich habe zu wenig Erfahrung, um überschauen zu können, wo diese Argumentation scheitern könnte. In Bsp. 5.35 sind wir aber schon nahe dran an unserem Problem, und ich habe die Vermutung, dass man die Bedingung [mm] $2b>\sigma^2$ [/mm] aus diesem Zusammenhang ableiten kann.
> Liebe Grüße
> Stefan
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 Mo 05.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
> > > (Und genau das wird ja ab Seite 342 unten
> > nur noch untersucht! Ich hatte mich schon gewundert,
> warum
> > ab da, bei der Betrachtung anderer Zeitachsen als [mm]\IR[/mm],
> von
>
> Kurze Zwischenfrage: Mit Zeitachse meinst Du die Werte, die
> der Prozess annehmen kann, oder? Sonst verstehe ich nicht,
> was Du meinst.
Ja, sorry, da habe ich mich verschrieben. Ich meinte natürlich den Wertebereich.
> Das verstehe ich nicht so ganz. Explosion bedeutet doch,
> dass der Prozess nach oben abhaut (wenn wir mal davon
> ausgehen, dass wir nach unten durch 0 beschränkt sind).
> Diese Explosion kann nun nach diesem Korollar nicht
> stattfinden. OK. Aber was hat das damit zu tun, ob der
> Prozess in die 0 reinläuft. Dann würde die Lösung doch
> trotzdem existieren. Also da wäre ich dankbar, wenn Du noch
> etwas dazu schreiben könntest.
> Oder ist es so, dass der Prozess "explodiert", wenn er in
> den Rand des Erlaubten kommt, vgl. (5.56) auf S. 343.
> Meinst Du das? Dann würde ich es verstehen.
Ja, ich meinte das Reinlaufen in einen Randpunkt. Ob das nun $0$ oder [mm] $+\infty$ [/mm] ist, ist ja egal. Klar, ist der Begriff "Explosion" dann irreführend, weil man sich darunter etwas vorstellt, das sehr groß wird. Aber ich glaube, man bezeichnet damit allgemein das Eintreten in den Rand des zulässigen Bereiches (der bei uns ja [mm] $]0,+\infty[$ [/mm] ist).
> Ich denke schon, dass das funktioniert. Aber ich habe zu
> wenig Erfahrung, um überschauen zu können, wo diese
> Argumentation scheitern könnte. In Bsp. 5.35 sind wir aber
> schon nahe dran an unserem Problem,
Ja, ich weiß, das hatte ich auch gesehen, daher bin ich mir auch sehr sicher, dass das so funktioniert.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Mo 05.07.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan!
Nur um sicherzugehen:
Ab S. 342 geht es nur noch darum, ob der Prozess explodiert (außerhalb eines vorgegebenen Intervalls liegt). Die Existenzfrage klärt sich durch die Picard-Lindelöf-Iteration. Die Frage ist dann nur noch, ob der so erhaltene Prozess "brav" ist. Das wird dann intensiv diskutiert, wobei vor allem noch äquivalenten Bedingungen zur Explosion gesucht wird und der Feller-Test (und angrenzende Propositionen) das entscheidende Ergebnis darstellt. Zu diesen Ergebnissen gehört aber auch das vorher angegebene Korollar 5.16, quasi als Spezialfall.
Stimmst Du überein?
Lieben Dank und liebe Grüße
Brigitte
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Mo 05.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
> Nur um sicherzugehen:
>
> Ab S. 342 geht es nur noch darum, ob der Prozess explodiert
> (außerhalb eines vorgegebenen Intervalls liegt).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die
> Existenzfrage klärt sich durch die
> Picard-Lindelöf-Iteration.
Joah, so indirekt, oder? Man stellt vorher seitenlang Bedingungen für die Existenz einer im Verteilungssinne eindeutig bestimmten schwachen Lösung auf. Zunächst betrachtet man SDE's ohne Drift. Okay, dann kann man Bedingungen angeben, so dass eine (im Verteilungssinne!) eindeutig bestimmte, global definierte schwache Lösung existiert. Dann nimmt man den Drift hinzu, macht also einen time change und fragt sich: Okay, was bleibt erhalten? Klar, die (im Verteilungssinne) eindeutig bestimme schwache Lösung, die aber jetzt plötzlich sehr wohl Explosionen haben kann. (Das ist ein Riesennachteil, den man sich einhandelt, weil man keine richtige Lipschitz-Bedingung fordert, aber egal.) Okay, jetzt sagt man sich in Korollar 5.16: Wie kann ich denn garantieren, dass ich nicht nur die Existenz einer schwachen Lösung (bis zu einer eventuellen Explosion), sondern sogar die Existenz einer starken Lösung (bis zu einer eventuellen Explosion) garantieren kann? Ja, und da nimmt man dann die verallgemeinerten Lipschitz-Bedingungen einfach noch mit hinzu (die einem fast sicher pfadweise Eindeutigkeit garantieren, nicht nur Eindeutigkeit im Verteilungssinne), auf die man bis dato ja verzichtet hat. Und dann kann man sagen:
Existenz einer schwachen Lösung (mit eventueller Explosion) + pfadweise Eindeutigkeit -> Existenz einer starken Lösung (mit eventueller Explosion)
> erhaltene Prozess "brav" ist. Das wird dann intensiv
> diskutiert, wobei vor allem noch äquivalenten Bedingungen
> zur Explosion gesucht wird und der Feller-Test (und
> angrenzende Propositionen) das entscheidende Ergebnis
> darstellt.
Liebe Grüße
Stefan
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