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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:12 Di 11.01.2005 | | Autor: | Chlors |
Hallo,
ich soll folgende zwei Dinge zeigen:
W und V Teilräume eines n-dimensionalen Vektorraums
1. (W+V)° = W° [mm] \cap [/mm] V°
2. (W [mm] \cap [/mm] V )° = W ° + V°
zu 2. hab ich mir folgendes überlegt :
(W [mm] \cap [/mm] V )° = {f | f(w) = 0 [mm] \cup [/mm] f(v)=0 für alle w [mm] \in [/mm] W und v [mm] \in [/mm] V }
= {f | f(w) = 0 für alle w [mm] \in [/mm] W} [mm] \cup [/mm] {f | f(v) = 0 für alle v [mm] \in [/mm] V}
= W° [mm] \cup [/mm] V° = W° + V°
bei 1. komme ich nicht wirklich weiter, da ich nicht genau weiß wie der Schnitt von Amulatoren aussieht, habs aber bis hierin aufgelöst:
(W+V)°={f | f(w+v) = 0 für alle w [mm] \in [/mm] W und v [mm] \in [/mm] V}
= {f | f(w) + f(v) = 0 für alle w [mm] \in [/mm] W und v [mm] \in [/mm] V} .. aber wie komme ich von hierhin zum Schnitt...
vielen dank für eure Hilfe.
LG, Conny.
ich habe die frage in keinem anderen Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:44 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Chlors!
Leider ist 2) falsch gelöst. Du identifizierst Vereinigung und Summe (was falsch ist) und verwendest auch sonst Symbole falsch, zum Beispiel ein Vereinigungszeichen an einer Stelle, wo eigentlich ein [mm] $\wedge$ [/mm] stehen müsste. Die darauffolgende Gleichheit ist ebenfalls nicht nachzuvollziehen.
Von daher machen wir es noch einmal neu:
2) Zu zeigen ist:
$(W [mm] \cap [/mm] V)° = W° + V°$.
Ist $f [mm] \in [/mm] (W [mm] \cap [/mm] V)°$, dann gilt insbesondere: $f [mm] \in [/mm] W°$, also: [mm] $f=\underbrace{f}_{\in W°}+\underbrace{0}_{\in V°} \in [/mm] W° + V°$, wobei $0$ die identische Nullabbildung liegt, die in jedem Annulator liegt.
Ist umgekehrt $f = g+h [mm] \in [/mm] W° + V°$, mit $g [mm] \in [/mm] W°$ und $h [mm] \in [/mm] V°$, so gilt für alle $w [mm] \in [/mm] W$: $g(w)=0$ und für alle [mm] $v\in [/mm] V$: $h(v)=0$, also für alle $x [mm] \in [/mm] V [mm] \cap [/mm] W$:
$f(x) = g(x) + h(x) = 0 + 0 = 0$,
also: $f [mm] \in [/mm] (W [mm] \cap [/mm] V)°$.
1) Zu zeigen ist:
$(W+V)° = W° [mm] \cap [/mm] V°$.
Ist $f [mm] \in [/mm] (W+V)°$, dann gilt für alle $w [mm] \in [/mm] W$:
$f(w) = [mm] f(\underbrace{\underbrace{w}_{\in W}+\underbrace{0}_{\in V}}_{\in V+W}) [/mm] = 0$,
also: $f [mm] \in [/mm] W°$.
Weiterhin gilt für alle $v [mm] \in [/mm] V$:
$f(v) = [mm] f(\underbrace{\underbrace{0}_{\in W} + \underbrace{v}_{\in V}}_{\in V+W}) [/mm] = 0$,
also: $f [mm] \in [/mm] V°$.
Daraus folgt: $f [mm] \in [/mm] W° [mm] \cap [/mm] V°$.
Ist umgekehrt $f [mm] \in [/mm] W° [mm] \cap [/mm] V°$, dann gilt für alle $w [mm] \in [/mm] W$: $f(w)=0$ und für alle $v [mm] \in [/mm] V$: $f(v)=0$, also für alle $x = w+v [mm] \in [/mm] W+V$ mit [mm] $w\in [/mm] W$ und $v [mm] \in [/mm] V$:
$f(x) = f(w+v) = f(w) + f(v) = 0 + 0 = 0$,
und somit: $f [mm] \in [/mm] (W+V)°$.
Liebe Grüße
Julius
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