Alternierende Reihe? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Konvergenz [mm] \summe_{i=4}^{\infty} (-\bruch{1}{3})^n [/mm] |
Kann ich [mm] \summe_{i=4}^{\infty} (-\bruch{1}{3})^n [/mm] als alternierende Reihe sehen [mm] \summe_{i=4}^{\infty} (-1)^n [/mm] * [mm] (\bruch{1}{3})^n
[/mm]
und entsprechend mit den Konvergenz-Kriterien für ne alternierende Reihe behandeln?
Also
1.) bi+1 < bi => [mm] (\bruch{1}{3})^n+1 [/mm] < [mm] (\bruch{1}{3})^n [/mm] => erfüllt
2.) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] bi=0 -> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{3})^n [/mm] =0 => erfüllt => konvergent
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> Konvergenz [mm]\summe_{i=4}^{\infty} (-\bruch{1}{3})^n[/mm]
> Kann
> ich [mm]\summe_{i=4}^{\infty} (-\bruch{1}{3})^n[/mm] als
> alternierende Reihe sehen [mm]\summe_{i=4}^{\infty} (-1)^n[/mm] *
> [mm](\bruch{1}{3})^n[/mm]
Wieso ist die Summe mit i indiziert und dann steht [mm] $(\frac{-1}{3})^n$ [/mm] ? also entweder immer i , oder n - suchs dir aus!
und: wieso geht die Summe bei 4 los? hat das einen tieferen Sinn?
>
>
> und entsprechend mit den Konvergenz-Kriterien für ne
> alternierende Reihe behandeln?
Ja und wie lautet dieses Konvergenzkriterium ?
>
> Also
>
> 1.) bi+1 < bi => [mm](\bruch{1}{3})^n+1[/mm] < [mm](\bruch{1}{3})^n[/mm] =>
> erfüllt
> 2.) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] bi=0 ->
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{3})^n[/mm] =1 => nicht
> erfüllt => divergent
Das ist grundlegend falsch. - die Reihe ist konvergent.
Fangen wir so an : Wie willst du auf Konvergenz prüfen? Formuliere mal das Kriterium sauber, dass du verwenden willst.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Di 05.05.2015 | | Autor: | RichardEb |
> Das ist grundlegend falsch. - die Reihe ist konvergent.
Nein eigentlich nicht. Ich hatte nur den limes falsch bestimmt. Sie ist nach meiner Rechnung ebenfalls konvergent. Ich weiß nur nicht, ob ich es so rechnen darf.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:33 Di 05.05.2015 | | Autor: | Thomas_Aut |
> > Das ist grundlegend falsch. - die Reihe ist konvergent.
> Nein eigentlich nicht. Ich hatte nur den limes falsch
> bestimmt. Sie ist nach meiner Rechnung ebenfalls
> konvergent. Ich weiß nur nicht, ob ich es so rechnen darf.
So wie es vorher dort stand war es absolut falsch.
Du führst dennoch nicht aus was du zeigen sollst:
Die alternierende Reihe
[mm] \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(-1)^n$ [/mm] konvergiert, falls [mm] a_{n} [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.
offensichtlich ist : [mm] (\frac{1}{3})^n [/mm] eine monoton fallende Nullfolge - ergo: ist deine Reihe konvergent.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Di 05.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Tipp zu $ [mm] \summe_{n=4}^{\infty} (-\bruch{1}{3})^n [/mm] $:
geometrische Reihe !
FRED
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Warum ist sie nicht alternierend bzw. warum kann ich sie mit den Konv. Krit der alternierend Reihe nicht prüfen?
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> Warum ist sie nicht alternierend bzw. warum kann ich sie
> mit den Konv. Krit der alternierend Reihe nicht prüfen?
Kannst du, wenn du das unbedingt möchtest!!
Ich nehme übrigens stark an, dass du das Leibniz-Kriterium meinst?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Di 05.05.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo RichardEb!
> Konvergenz [mm]\summe_{i=4}^{\infty} (-\bruch{1}{3})^n[/mm]
Du meinst
[mm] \summe_{n=4}^{\infty} \left(-\bruch{1}{3}\right)^n.
[/mm]
> Kann ich [mm]\summe_{i=4}^{\infty} (-\bruch{1}{3})^n[/mm] als alternierende Reihe sehen [mm]\summe_{i=4}^{\infty} (-1)^n[/mm] * [mm](\bruch{1}{3})^n[/mm]
Du meinst
[mm] $\summe_{n=4}^{\infty} \left(-\bruch{1}{3}\right)^n=\summe_{n=4}^{\infty}(-1)^n*\left(\bruch{1}{3}\right)^n$.
[/mm]
> und entsprechend mit den Konvergenz-Kriterien für ne
> alternierende Reihe behandeln?
(Ich nehme an, dass du dich auf das Leibniz-Kriterium beziehst.)
Ja, wir setzen
[mm] (b_n)_{n\in\IN}:=\left(\left(\bruch{1}{3}\right)^n\right)_{n\in\IN}
[/mm]
und erhalten
[mm] S:=\summe_{n=4}^{\infty}(-1)^n*b_n.
[/mm]
Nach Leibniz konvergiert [mm] $S\$, [/mm] falls [mm] (b_n) [/mm] eine monoton fallende
Nullfolge ist.
> Also
>
> 1.) bi+1 < bi => [mm](\bruch{1}{3})^n+1[/mm] < [mm](\bruch{1}{3})^n[/mm] => erfüllt
(Es reicht aus zu zeigen, dass [mm] (b_n) [/mm] monoton fällt, also das gilt
[mm] $b_{n+1}\le b_n$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN.)
[/mm]
Es ist
[mm] $b_{n+1}< b_{n}$
[/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}< \left(\frac{1}{3}\right)^{n}$
[/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow \left(\frac{1}{3}\right)^{n}*\left(\frac{1}{3}\right)< \left(\frac{1}{3}\right)^{n}$
[/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow\frac{1}{3}<1$.
[/mm]
Frage: Ist hier [mm] \Longrightarrow [/mm] oder [mm] \Longleftarrow [/mm] wichtig?
> 2.) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] bi=0 ->[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{3})^n[/mm] =0 =>
Du meinst
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{1}{3}\right)^n=0.
[/mm]
Kannst du das begründen?
> erfüllt => konvergent
Insgesamt ist deine Idee richtig, aber du zeigst damit "nur"
die Konvergenz der Reihe. Die angegebene Reihe ist nämlich
absolut konvergent (damit insbesondere konvergent) und es gilt
[mm] \summe_{n=4}^{\infty}(-1)^n*\left(\bruch{1}{3}\right)^n=\frac{1}{108}.
[/mm]
(Dazu haben dir schon Fred und Thomas Tipps gegeben. Falls du
mehr dazu wissen willst, dann frage einfach erneut nach. Dabei
wäre es gut zu wissen was ihr schon bezüglich Konvergenz und
geometrische Reihe bewiesen habt. Ansonsten kann man hier mit
Sicherheit sehr viel dazu schreiben.)
Gruß
DieAcht
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