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Alternier. Grp. Normalteiler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:44 Sa 20.10.2012
Autor: Hellfrog

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die alternierende Gruppe [mm] A_{n} [/mm] ein Normalteiler in [mm] S_{n} [/mm] für n [mm] \in \IN_{n > 0} [/mm] ist.


hallo

weiß nicht so genau wie ich an die aufgabe rangehen soll. hier mal was ich mir dazu überlegt habe:

[mm] A_{n} [/mm] besteht aus allen geraden permutationen einer n-elementigen menge, außerdem ist [mm] A_{n} [/mm] der kern des gruppenhomomorphismus [mm] S_{n} \rightarrow [/mm] {-1; 1}.
jetzt ist doch der kern eines gruppenhom. nach definition schon ein normalteiler der abgebildeten gruppe, in meinem fall also [mm] S_{n}. [/mm]

an dieser stelle wäre ich dann doch schon fertig, oder mache ich mir es zu leicht?

alternativ dachte ich vllt noch so:
für n [mm] \ge [/mm] 5 ist [mm] A_{n} [/mm] einfach, dh also falls [mm] A_{n} [/mm] ein Normalteiler ist, dann können nur die Normalteiler {e}, [mm] A_{n} [/mm] und [mm] S_{n} [/mm] selbst in frage kommen.
jetzt müsste ich dann noch die fälle n [mm] \le [/mm] 4 betrachten, aber dazu habe ich keine idee.


danke schonmal im voraus

        
Bezug
Alternier. Grp. Normalteiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Sa 20.10.2012
Autor: Schadowmaster

Wenn du die von dir erwähnten Sätze und Definitionen schon hattest reicht das vollkommen, ja.

Bezug
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