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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Fr 02.12.2011 | | Autor: | Ali92 |
| Aufgabe | | Sei n, k > 0. Es sei X eine Menge mit mehr als n * k Elementen und Y eine Menge mit n Elementen. Zeigen Sie, dass für jede Abbildung f: X [mm] \to [/mm] Y ein y [mm] \in [/mm] Y existiert, sodass [mm] f^{-1} [/mm] ({y}) mindestens k + 1 viele Elemente hat. (Sie dürfen keine Version des Schubfachprinzips als bereits bewiesen voraussetzen.) |
Hey,
ich habe die Aufgabe absolut verstanden und sie ist auch ganz logisch, es geht darum, dass die Menge X immer größer ist als die Menge Y und dass mindestens ein y in der Menge Y mindestens 2 Urbilder besitzt. Dies ist nun nur noch zu zeigen.
Ich dachte mir ich mach das durch Widerspruchsbeweis und meine Lösung sehe wie folgt aus:
Widerspruch:
Annahme: f : X [mm] \to [/mm] Y [mm] \exists [/mm] (nicht) y [mm] \in [/mm] Y : | [mm] f^{-1} [/mm] ({y}) | [mm] \ge [/mm] k + 1
[mm] \gdw \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] Y | [mm] f^{-1} [/mm] (y) | < k
[mm] \Rightarrow [/mm] | [mm] f^{-1} [/mm] (y) | [mm] \ge [/mm] k * n
|X| = k* n + m m > 0
[mm] \Rightarrow \exists x_{kn+m} \in [/mm] X : | [mm] f^{-1} [/mm] ( f | [mm] x_{kn+m})) [/mm] | [mm] \le [/mm] k + m
WIDERSPRUCH.
Bin aber nicht ganz sicher, ob das so alles mathematisch korrekt ist oder ob ich irgendwo einen Fehler habe.
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Hallo,
> Sei n, k > 0. Es sei X eine Menge mit mehr als n * k
> Elementen und Y eine Menge mit n Elementen. Zeigen Sie,
> dass für jede Abbildung f: X [mm]\to[/mm] Y ein y [mm]\in[/mm] Y existiert,
> sodass [mm]f^{-1}[/mm] ({y}) mindestens k + 1 viele Elemente hat.
> (Sie dürfen keine Version des Schubfachprinzips als
> bereits bewiesen voraussetzen.)
>
> Hey,
>
> ich habe die Aufgabe absolut verstanden und sie ist auch
> ganz logisch, es geht darum, dass die Menge X immer
> größer ist als die Menge Y und dass mindestens ein y in
> der Menge Y mindestens 2 Urbilder besitzt. Dies ist nun nur
> noch zu zeigen.
>
> Ich dachte mir ich mach das durch Widerspruchsbeweis und
> meine Lösung sehe wie folgt aus:
>
> Widerspruch:
>
> Annahme: f : X [mm]\to[/mm] Y [mm]\exists[/mm] (nicht) y [mm]\in[/mm] Y : | [mm]f^{-1}[/mm] ({y}) | [mm]\ge[/mm] k + 1
>
> [mm]\gdw \forall[/mm] y [mm]\in[/mm] Y | [mm]f^{-1}[/mm] (y) | < k
Die Gegenannahme ist:
"Für alle [mm] $y\in [/mm] Y$ ist [mm] $|f^{-1}(y)|\leq [/mm] k$."
Daraus folgt dann, dass das Urbild der gesamten Menge Y höchsten k*n Elemente enthält:
[mm] |f^{-1}(Y)|\leq [/mm] nk.
Elementarerweise ist nun [mm] $X\subset f^{-1}(Y)$. [/mm] Da aber |X|>nk haben wir einen Widerspruch.
> [mm]\Rightarrow[/mm] | [mm]f^{-1}[/mm] (y) | [mm]\ge[/mm] k * n
> |X| = k* n + m m > 0
> [mm]\Rightarrow \exists x_{kn+m} \in[/mm] X : | [mm]f^{-1}[/mm] ( f | [mm]x_{kn+m}))[/mm] | [mm]\le[/mm] k + m
>
> WIDERSPRUCH.
>
> Bin aber nicht ganz sicher, ob das so alles mathematisch
> korrekt ist oder ob ich irgendwo einen Fehler habe.
>
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Fr 02.12.2011 | | Autor: | Ali92 |
Alles klar, danke :)
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