Allgemeines Assoziativgesetz < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 So 03.11.2013 | | Autor: | ne1 |
| Aufgabe | | Beweise [mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + ... + [mm] x_n [/mm] = [mm] (...(x_1 [/mm] + [mm] x_2) [/mm] + [mm] x_3) [/mm] + ...) + [mm] x_n$. [/mm] |
Induktionsanfang:
Ich muss beweisen: [mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = [mm] (x_1 [/mm] + [mm] x_2) [/mm] + [mm] x_3$.
[/mm]
Aus dem Assoziativgesetz und [mm] $x_1 [/mm] + [mm] (x_2 [/mm] + [mm] x_3)$ [/mm] folgt [mm] $x_1 [/mm] + [mm] (x_2 [/mm] + [mm] x_3)$ [/mm] also ist die Klammerung egal, man kann deshalb [mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3$ [/mm] schreiben.
Induktionsschritt:
Annahme: [mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + ... + [mm] x_n [/mm] = [mm] (...((x_1 [/mm] + [mm] x_2) [/mm] + [mm] x_3) [/mm] + ...) + [mm] x_n$. [/mm] Ich muss beweisen: [mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + ... + [mm] x_n [/mm] + [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] ((...((x_1 [/mm] + [mm] x_2) [/mm] + [mm] x_3) [/mm] + ...) + [mm] x_n) [/mm] + [mm] x_{n+1}$. [/mm] Nach IV erhalte ich [mm] $(...((x_1 [/mm] + [mm] x_2) [/mm] + [mm] x_3) [/mm] + ...) + [mm] x_n [/mm] + [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] ((...((x_1+x_2)+x_3) [/mm] + ...) + [mm] x_n [/mm] ) + [mm] x_{n+1}$. [/mm] Das kann man schreiben als [mm] $a+x_n+x_{n+1} [/mm] = [mm] (a+x_n) [/mm] + [mm] x_{n+1}$. [/mm] Nach dem Induktionssanfang folgt $(a + [mm] x_n) [/mm] + [mm] x_{n+1} [/mm] = a + [mm] (x_n [/mm] + [mm] x_{n+1})$ [/mm] also ist die Gleichung [mm] $a+x_n+x_{n+1} [/mm] = [mm] (a+x_n) [/mm] + [mm] x_{n+1}$ [/mm] wahr d.h. [mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + ... + [mm] x_n [/mm] + [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] ((...((x_1 [/mm] + [mm] x_2) [/mm] + [mm] x_3) [/mm] + ...) + [mm] x_n) [/mm] + [mm] x_{n+1}$ [/mm] ist wahr.
Bitte kontrollieren, ob es stimmt was ich geschrieben habe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 So 03.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Beweise [mm]x_1 + x_2 + ... + x_n = (...(x_1 + x_2) + x_3) + ...) + x_n[/mm].
>
> Induktionsanfang:
> Ich muss beweisen: [mm]x_1 + x_2 + x_3 = (x_1 + x_2) + x_3[/mm].
>
> Aus dem Assoziativgesetz und [mm]x_1 + (x_2 + x_3)[/mm] folgt [mm]x_1 + (x_2 + x_3)[/mm]
> also ist die Klammerung egal, man kann deshalb [mm]x_1 + x_2 + x_3[/mm]
> schreiben.
>
> Induktionsschritt:
> Annahme: [mm]x_1 + x_2 + ... + x_n = (...((x_1 + x_2) + x_3) + ...) + x_n[/mm].
> Ich muss beweisen: [mm]x_1 + x_2 + ... + x_n + x_{n+1} = ((...((x_1 + x_2) + x_3) + ...) + x_n) + x_{n+1}[/mm].
> Nach IV erhalte ich [mm](...((x_1 + x_2) + x_3) + ...) + x_n + x_{n+1} = ((...((x_1+x_2)+x_3) + ...) + x_n ) + x_{n+1}[/mm].
> Das kann man schreiben als [mm]a+x_n+x_{n+1} = (a+x_n) + x_{n+1}[/mm].
> Nach dem Induktionssanfang folgt [mm](a + x_n) + x_{n+1} = a + (x_n + x_{n+1})[/mm]
> also ist die Gleichung [mm]a+x_n+x_{n+1} = (a+x_n) + x_{n+1}[/mm]
> wahr d.h. [mm]x_1 + x_2 + ... + x_n + x_{n+1} = ((...((x_1 + x_2) + x_3) + ...) + x_n) + x_{n+1}[/mm]
> ist wahr.
>
> Bitte kontrollieren, ob es stimmt was ich geschrieben habe.
Die Grundidee ist sehr gut, aber etwas kompliziert aufgeschrieben.
Du hast:
[mm] \red{(}(\cdots(x_{1}+x_{2})+x_{3})+\ldots+x_{n-1})+x_{n}\red{)}+x_{n+1}
[/mm]
Auf die rot markierte Klammer gilt das Assotiativgesetz, also kannst du das schreiben als [mm] x_{1}+\ldots+x_{n}, [/mm] somit wird
[mm] \red{(}(\cdots(x_{1}+x_{2})+x_{3})+\ldots+x_{n-1})+x_{n}\red{)}+x_{n+1}
[/mm]
zu
[mm] x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}+x_{n+1}
[/mm]
Und genau das war zu zeigen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 So 03.11.2013 | | Autor: | ne1 |
> Du hast:
>
> [mm]\red{(}(\cdots(x_{1}+x_{2})+x_{3})+\ldots+x_{n-1})+x_{n}\red{)}+x_{n+1}[/mm]
>
> Auf die rot markierte Klammer gilt das Assotiativgesetz,
> also kannst du das schreiben als [mm]x_{1}+\ldots+x_{n},[/mm] somit
> wird
>
>
> [mm]\red{(}(\cdots(x_{1}+x_{2})+x_{3})+\ldots+x_{n-1})+x_{n}\red{)}+x_{n+1}[/mm]
> zu
> [mm]x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}+x_{n+1}[/mm]
>
> Und genau das war zu zeigen.
>
> Marius
Da habe ich aber leider immer noch ein Problem. Ich will zeigen $ [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + ... + [mm] x_n [/mm] + [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] ((...((x_1 [/mm] + [mm] x_2) [/mm] + [mm] x_3) [/mm] + ...) + [mm] x_n) [/mm] + [mm] x_{n+1} [/mm] $. Ich wende die IV an und erhalte $ [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + ... + [mm] x_n [/mm] + [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] (x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + ... + [mm] x_n) [/mm] + [mm] x_{n+1} [/mm] $ und nicht wie du geschrieben hast [mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + ... + [mm] x_n [/mm] + [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + ... + [mm] x_n [/mm] + [mm] x_{n+1} [/mm] $. Und hier hänge ich gerade. Ich muss irgendwie noch zeigen, dass tatsächlich [mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + ... + [mm] x_n [/mm] + [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] (x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + ... + [mm] x_n) [/mm] + [mm] x_{n+1} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 So 03.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwie vermisse ich, dass du nicht das Kommutativgesetz mehrfach anwendest. die Pünktchen bedeuten doch wohl, dass x1+(x2+x3) an jeder beliebigen stelle stehen dürfen?
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:45 So 03.11.2013 | | Autor: | ne1 |
> Hallo
> irgendwie vermisse ich, dass du nicht das Kommutativgesetz
> mehrfach anwendest. die Pünktchen bedeuten doch wohl, dass
> x1+(x2+x3) an jeder beliebigen stelle stehen dürfen?
> Gruss leduart
Leider habe ich deine Antwort nicht ganz verstanden. Die Pünktchen sind, denke ich, selbstverständlich.
Ich habe bereits [mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + ... + [mm] x_n [/mm] + [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] (x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + ... + [mm] x_n) [/mm] + [mm] x_{n+1}$. [/mm] D.h. [mm] $(x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + ... + [mm] x_n)$ [/mm] kann jede mögliche Klammerung haben z.B. [mm] $(x_1 [/mm] + [mm] (x_2 [/mm] + [mm] x_3) [/mm] + ... + [mm] x_n)$, [/mm] ich habe aber bis jetzt noch nicht gezeigt ob z.B. [mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + ... + [mm] x_n [/mm] + [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_1 [/mm] + [mm] (x_2 [/mm] + [mm] ...(x_n [/mm] + [mm] x_{n+1})...)$ [/mm] wahr ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 11.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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