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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich hab ein paar Fragen zur Allgemeinen Linearen Gruppe $GL(V)$.
Wir habe sie definiert als Menge aller linearen bijektiven Abbildungen von V nach V.
Dann sagen wir, dass es eine Gruppe ist, wenn wir als Gruppenoperation die Verknüpfung von Abbildungen nehmen.
Dazu habe ich eine Frage.
Die Operation bei Gruppen ist ja in der Regel $+$ oder $*$ .
Kann man das nicht auch so für die linearen bijektiven Abbildungen übernehmen und dann (wie damals bei Vektorräumen) das $+$ als Addition von Funktionswerten definieren?
Warum die Komposition?
Dann noch eine andere Frage:
Die Menge aller linearen bijektiven Abbildungen von V nach V müsste doch eine Teilmenge der Menge aller linearen Abbildungen von V nach V sein, oder?
Die Menge aller linearen Abbildungen von V nach V bildet einen Vektorraum (wenn man für Addition und Skalarmultiplikation wieder die Addition bzw. skalare Multiplikation von Funktionswerten nimmt).
Ist dann die $GL(V)$ auch ein Vektorraum? Da wir als Gruppenoperation ja jetzt die Komposition und nicht die Addition genommen habe, weiß ich nicht so recht, wie ich die Unterraumaxiome prüfen kann.
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 So 01.11.2009 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
ich will mal versuchen, die Verwirrung etwas aufzuklären, zumindest hoffe ich, sie nicht noch zu verschlimmern.
> Hallo zusammen!
>
> Ich hab ein paar Fragen zur Allgemeinen Linearen Gruppe
> [mm]GL(V)[/mm].
>
> Wir habe sie definiert als Menge aller linearen bijektiven
> Abbildungen von V nach V.
So tut man das üblicherweise.
>
> Dann sagen wir, dass es eine Gruppe ist, wenn wir als
> Gruppenoperation die Verknüpfung von Abbildungen nehmen.
>
> Dazu habe ich eine Frage.
> Die Operation bei Gruppen ist ja in der Regel [mm]+[/mm] oder [mm]*[/mm] .
Da würde ich eher sagen "Die Operationen bei Gruppen bezichnet man oft mit den Zeichen + oder *" - was die auch immer bedeuten mögen.
> Kann man das nicht auch so für die linearen bijektiven
> Abbildungen übernehmen und dann (wie damals bei
> Vektorräumen) das [mm]+[/mm] als Addition von Funktionswerten
> definieren?
Genauer gesagt wäre "+" in diesem Fall eine "Addition" von Funktionen, wobei der Funktionswert der Summenfunktion gleich der Summe der Funktionswerte der Ausgangsfunktionen ist.
Du kannst gerne einmal die Menge aller linearen, bijektiven Abbildungen mit dieser Verknüpfung untersuchen, ob das dann eine Gruppe ergibt.
(Preisfage: was wäre das neutrale Element?)
> Warum die Komposition?
Die Frage ist eigentlich falsch herum gestellt. Ausgangspunkt der Überlegungen, die zur allgemeinen linearen Gruppe führen ist, dass man die linearen Abbildungen von Vektorräumen untersucht. Dabei könnte man jetzt als Verknüpfung zwischen zwei Funktionen zum einen die Addition wählen, was aber nicht viele neue Erkenntnisse bringt (da man diese Verknüpfung ja schon bei der betrachtung der linearen Abbildungen als Vektorraum untersucht hat) oder zum anderen die Verknüpfung zweier Abbildungen [mm] "$\circ$". [/mm] Bezüglich letzterer bilden aber alle linearen Abbildungen keine Gruppe, da ja nicht zu jeder Abbildungn ein inverses Element existiert. Die größte Teilmenge, für die man bezüglich [mm] "$\circ$" [/mm] eine Gruppe enthält ist genau die allgemeine lineare Gruppe.
>
> Dann noch eine andere Frage:
>
> Die Menge aller linearen bijektiven Abbildungen von V nach
> V müsste doch eine Teilmenge der Menge aller linearen
> Abbildungen von V nach V sein, oder?
Ist sie, natürlich!
>
> Die Menge aller linearen Abbildungen von V nach V bildet
> einen Vektorraum (wenn man für Addition und
> Skalarmultiplikation wieder die Addition bzw. skalare
> Multiplikation von Funktionswerten nimmt).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ist dann die [mm]GL(V)[/mm] auch ein Vektorraum? Da wir als
> Gruppenoperation ja jetzt die Komposition und nicht die
> Addition genommen habe, weiß ich nicht so recht, wie ich
> die Unterraumaxiome prüfen kann.
Beachte: solche Eigenschaften wie "ist ein Vektorraum/eine Gruppe/ein Körper/ein..." beziehen sich nie auf eine Menge alleine, sondern immer auf eine Menge (bzw. im Fall eines Vektorraums mehrere Mengen) und auf die gegebenen Verknüpfungen.
Du kannst also ohne Probleme überprüfen, ob GL(V) mit der Addition und der skalaren Multiplikation einen Vektorraum bilden (tun sie übrigens nicht).
Dass Du jetzt auf dieser Menge mit der Komposition noch eine weitere Verknüpfung definiert hast tut dabei aber erst mal nichts zur Sache.
Gruß
piet
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