Allgemeine Lösung inh. DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden inhomogenen DGL:
7y’’ – 4y’ – 3y = 6 |
Guten Tag Mathematiker.
Ich bräuchte ein wenig Hilfe bezogen auf die obige Aufgabe. Hier ist mein Ansatz:
7y’’ – 4y’ – 3y = 6
Homogene DGL:
7y’’ – 4y’ – 3y = 0
[mm] 7\lambda^2 -4\lambda [/mm] -3 = 0 [mm] \lambda1 [/mm] = 1 [mm] \lambda [/mm] 2 = -3/7
yh = C1 * [mm] e^x [/mm] + C2 * e^-3/7x
Gegebener Ansatz : yinh = [mm] ax^2 [/mm] * e^bx
y'inh = ( 2ax + [mm] abx^2) [/mm] *e^bx
y''inh = [mm] (ab^2x^2 [/mm] + 4abx +2a)*e^bx
Eingesetzt in die obige Differentialgleichung :
(14a + [mm] 7ab^2 x^2 [/mm] + 28abx -8ax [mm] -4abx^2 -3ax^2) [/mm] * e^bx = 6
Wenn der Ansatz stimmen sollte habe ich ein Problem weiterzurechnen , weil ich mir nicht sicher bin wie es weitergeht.
Bitte um Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 So 06.07.2014 | | Autor: | Herby |
Hi,
wer hat dir den Ansatz für die partikuläre Lösung gegeben?
[mm] y_p=A
[/mm]
LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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Den Ansatz hat uns unser Dozent gegeben :
(Ansatz für yinh : [mm] ax^2∙e^{bx}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 So 06.07.2014 | | Autor: | Herby |
Hallo,
und da steht dann wirklich nur auf der rechten Seite die 6 (einsam und verlassen)?
Hinter der 6 verbirgt sich ein Polynom [mm] 6*x^0 [/mm] und da ist der Ansatz halt nur [mm] A*x^0 [/mm] - warum sollte man auch etwas anderes nehmen?
LG
Herby
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7y’’ – 4y’ – 3y = 6 ja...
So steht es auf dem Übungsblatt : Es soll rauskommen ,
y = [mm] c1∙e^x [/mm] + c2∙x∙e^( –3/7 x) – 2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 So 06.07.2014 | | Autor: | Herby |
Salut,
> 7y’’ – 4y’ – 3y = 6 ja...
>
> So steht es auf dem Übungsblatt : Es soll rauskommen ,
> y = [mm]c1∙e^x[/mm] + c2∙x∙e^( –3/7 x) [mm] \red{\text{–2}}
[/mm]
genau ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm] y_p=A
[/mm]
$y'_p=0$
$y''_p=0$
eingesetzt in die DGL
0+0-3A=6 => [mm] A=\red{-2}
[/mm]
fertig!
LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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Alles klar, ich danke dir . Und ich habe mich so mit dem Ansatz herumgeboxt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:49 So 06.07.2014 | | Autor: | Herby |
Hi,
gerne ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 So 06.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Den Ansatz hat uns unser Dozent gegeben :
>
> (Ansatz für yinh : [mm]ax^2∙e^(bx)[/mm]
Und das war sicher der Ansatz für DIESES konkrete Beispiel?
Oder habt ihr in der Vorlesung ein anderes Beispiel gerechnet und du meinst, der Ansatz müsse immer der gleiche sein?
Der Ansatz ist abhängig von der Störfunktion (und u.U auch von den Lösungen der charakteristischen Gleichung) und die ist in diesem Beispiel halt erfreulich einfach.
Den richtigen Ansatz hat dir Herby schon genannt, einfach eine Konstante, die du durch Einsetzen zu bestimmen hast.
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Das kann sehr gut sein . Ich nehme einfach den Ansatz den ihr mir gegeben habt , das klingt sinvoller.... sonst stimmt alles soweit?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 So 06.07.2014 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Das kann sehr gut sein . Ich nehme einfach den Ansatz den
> ihr mir gegeben habt , das klingt sinvoller.... sonst
> stimmt alles soweit?
ja
LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden inhomogenen DGL:
y’’ – 12y’ + 11y = 3x2 + 2x +5 |
Hätte nochmal explizit hierfür ne Frage:
Hier muss ich mir wieder einen Ansatz suchen: Habe mich für
yinh = [mm] ax^2 [/mm] + bx+c entschieden.
yinh' = 2ax + b
yinh'' = 2a
In DGL eingesetzt:
[mm] 2a-24ax-12b+11ax^2+11bx+11c [/mm] = [mm] 3x^2 [/mm] + 2x + 5
Bisschen ordentlicher geschrieben:
[mm] 11ax^2 [/mm] - (24a - 11b )x + 2a -12b +11c = 3 + 2 + 5
=-2 =5
So nun habe ich die Variablen a , b , c bestimmt.
a = -1 b= -2 c = -17/11
Dann kommt folgendes herraus:
y1 * e^11x + c2 * [mm] e^x -x^2 [/mm] -2x - 17/11
Ganz vergessen das bei Anwendung der Pq -Formel an der obigen Gleichung folgende Werte herauskommen :
[mm] \lambda [/mm] 1 = 11 [mm] \lambda [/mm] 2 = 1
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Mo 07.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Hallo!
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden
> inhomogenen DGL:
>
> y’’ – 12y’ + 11y = 3x2 + 2x +5
> Hätte nochmal explizit hierfür ne Frage:
>
> Hier muss ich mir wieder einen Ansatz suchen: Habe mich
> für
>
> yinh = [mm]ax^2[/mm] + bx+c entschieden.
Gute Wahl! Jedenfalls dann, wenn keine der beiden Lösungen der charakteristischen Gleichung Null ist. Sollte eine Null sein, müsstest du das Polynom noch mit x multiplizieren.
> yinh' = 2ax + b
> yinh'' = 2a
>
> In DGL eingesetzt:
>
> [mm]2a-24ax-12b+11ax^2+11bx+11c[/mm] = [mm]3x^2[/mm] + 2x + 5
Ja, das ist noch OK.
> Bisschen ordentlicher geschrieben:
>
> [mm]11ax^2[/mm] - (24a - 11b )x + 2a -12b +11c = 3 + 2 + 5
> =-2 =5
Nun, ordentlicher ist das nicht. Einerseits fehlen rechts die Potenzen von x und dadurch, dass das Posting später in einer Proportionalschrift angezeigt wird, verschiebt sich auch die gute zweite Zeile.
Die Konstanten a, b und c durch Koeffizientenvergleich zu ermitteln ist eine richtige Idee, aber wenn du die quadratischen Terme vergleichst, hast du links doch 11*a und rechst 3, also a=3/11. Wie kommst du da auf a=-1?
> So nun habe ich die Variablen a , b , c bestimmt.
>
> a = -1 b= -2 c = -17/11
>
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Ja da habe ich mich dann vertan verdammt.
[mm] 11ax^2 [/mm] = [mm] 3x^2 [/mm]
11a = 3 = > a = 3/11
Nun versage ich aber ein wenig was b angelangt.
Hätte mir gedacht das -(24a-11b)x = 2x
Da a bekannt ist einsetzen
-72/11x - 11bx = 2x aber da kommt ja nichts vernünfitges bei rum.
2 Idee war :
11bx = 2x b= 2/11 denke aber nicht das es richtig ist.
Ich habe momentan keine Ahnung wie ich auf B kommen soll obwohl ich A schon habe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:08 Mo 07.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Ja da habe ich mich dann vertan verdammt.
>
> [mm]11ax^2[/mm] = [mm]3x^2[/mm]
>
> 11a = 3 = > a = 3/11
>
> Nun versage ich aber ein wenig was b angelangt.
>
> Hätte mir gedacht das -(24a-11b)x = 2x
> Da a bekannt ist einsetzen
>
> -72/11x - 11bx = 2x aber da kommt ja nichts vernünfitges
> bei rum.
Vernünftiges? Aber jedenfalls was Richtiges.
>
> 2 Idee war :
>
> 11bx = 2x b= 2/11 denke aber nicht das es richtig ist.
Ja, das wäre falsch. Obiger Ansatz ist schon OK, auch wenn's Zahlen gibt, mit denen man lieber rechnet.
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-72/11x - 11bx = 2x
-72/11x -11b = 2
-11b = -11/36 x
b = 1/36 x
Deswegen war ich mir auch so unschlüssig
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:42 Mo 07.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> -72/11x - 11bx = 2x
1.Fehler: Wieso [mm] $\red{-} [/mm] 11b*x$
> -72/11x -11b = 2
2.Fehler: Was macht hier noch das x? "Aus Differenz und Summen ..."
> -11b = -11/36 x
Um Gottes Willen!!, Was machst du hier?? Keine Ahnung, wie viele Fehler hier kumulieren. Sorry, aber das ist wirklich schlimm!
Fang bitte nochmals mit der ersten Zeile mit dem richtigen Vorzeichen an und lass dir Zeit und konzentrier dich.
Zu deiner Kontrolle: Ich erhalte [mm] $c=\frac{1667}{1331}$
[/mm]
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Es tut mir leid, ich meine es ernst, ich danke dir das du mir hilfst... hatte ne ziemlich harte Woche hinter mir und bin ein wenig neben der Spur.
Also -72/11x + 11bx = 2x
11bx = 94/11 x
b = 94/121
2a-12b+11c = 5
-1062/121 + 11C = 5
C = 1667/1331
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Ganz vergessen :
Das müsste dann zusammengefasst folgender Maßen aussehen damit die Aufgabe auch komplett ist:
c1 * e^11x + c2 * [mm] e^x [/mm] + 3/11 [mm] x^2 [/mm] + 94/121 x + 1667/1331
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:21 Mo 07.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Ganz vergessen :
>
> Das müsste dann zusammengefasst folgender Maßen aussehen
> damit die Aufgabe auch komplett ist:
>
> c1 * e^11x + c2 * [mm]e^x[/mm] + 3/11 [mm]x^2[/mm] + 94/121 x + 1667/1331
Ja, genau so ist es.
Wenn du Lust hast, kannst du dir ja die Mühe machen, diese Funktion zwei Mal zu differenzieren und in die Angabe einzusetzen. Du wirst sehen, es stimmt.
Gruß
RMix
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