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| Aufgabe | Gesucht ist die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung:
y' = -(y/x) + cos [mm] (x^2) [/mm] |
Hey Leute,
Habe mit DGL eigentlich keine Probleme. Allerdings komme ich bei dieser Aufgabe nicht auf die richtige Lösung und ich dachte, ihr könnt mir evtl. dabei behilflich sein, den Fehler zu finden!
Zunächst suchen wir ne homogene Lösung. Daraus resultiert:
y' = -y/x
dann
dy/dx = -y/x
dann umformen
1/y dy = -1/x dx
dann integrieren
ln (y) = - ln (x) + C
dann mit e erweitern
e^ln (y) = y = e^-1*ln (x) + [mm] e^C [/mm] = x * e^-1 + K
richtige Lösung lautet yh = C * 1/x
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 Mo 08.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Gesucht ist die allgemeine Lösung der folgenden
> Differentialgleichung:
>
> y' = -(y/x) + cos [mm](x^2)[/mm]
> Hey Leute,
>
> Habe mit DGL eigentlich keine Probleme. Allerdings komme
> ich bei dieser Aufgabe nicht auf die richtige Lösung und
> ich dachte, ihr könnt mir evtl. dabei behilflich sein, den
> Fehler zu finden!
>
> Zunächst suchen wir ne homogene Lösung.
Coole Ausdrucksweise ! Du suchst keine homogene Lösung, sondern die allgemeine Lösung der zugeh. homogenen Gleichung.
> Daraus
> resultiert:
>
> y' = -y/x
>
> dann
>
> dy/dx = -y/x
>
> dann umformen
>
> 1/y dy = -1/x dx
>
> dann integrieren
>
> ln (y) = - ln (x) + C
>
> dann mit e erweitern
>
> e^ln (y) = y = e^-1*ln (x) + [mm]e^C[/mm] = x * e^-1 + K
????
merkwürdige "Regeln" kennst Du !
[mm] e^{-ln(x)}=\bruch{1}{e^{ln(x)}}=1/x
[/mm]
[mm] e^{a+b}=e^a*e^b \ne e^a+e^b
[/mm]
FRED
>
>
> richtige Lösung lautet yh = C * 1/x
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:45 Mo 08.07.2013 | | Autor: | Chelydrae |
Danke :) Hab nicht gesehen, dass e^(-ln x) = 1/x ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Mo 08.07.2013 | | Autor: | Yves-85 |
Zunächst suchen wir ne homogene Lösung. Daraus resultiert:
y' = -y/x
dann
dy/dx = -y/x
dann umformen
1/y dy = -1/x dx
dann integrieren:
Ich habe anders integriert:
ln y = - ln x + ln C = [mm] ln\bruch{C}{x}, [/mm] danach die e-Funktion anwenden um zu entlogarithmieren. Generell ist es so dass beim Auftreten logarithmischer Terme, die Integrationskonstante in der Form ln C angesetzt wird.
y = [mm] \bruch{C}{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}*C [/mm]
Gruß
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