Allgemeine Lösung der DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:01 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Tequila |
| Aufgabe | | [mm] xy'=x^{2}-y [/mm] |
Hallo
ich peils einfach nicht mit allgemeiner Lösung :(
folgendes hab ich gemacht:
durch Umformung
homogene DGL aufgestellt (ich hoffe das ist wenigstens richtig)
[mm] y'+\bruch{y}{x}=0 [/mm]
y'= [mm] -\bruch{y}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}=-\bruch{y}{x}
[/mm]
durch integrieren dann
-lny=lnx+C
-lny=lnx+lnC
-y=xC
y=-Cx
dies ist auch gleichzeitig yH (homogen)
also yH = -Cx
C von x abhängig machen und partikuläre Lösung finden
yP=-C(x)x
y'P=-C'(x)x-C(x)
durch einsetzen in die DGL dann
-C'(x)x-C(x)-C(x)=x
und genau da ist mein Problem
nun die C(x) kürzen sich nicht weg
wäre ja
[mm] C'(x)=\bruch{-x+2C(x)}{x}
[/mm]
und nun? ganz normal integrieren? ich glaube da ist jetzt schon was falsch
später müsste ich das integrierte ja einfach mit -C(x)x addieren oder?
Wäre über einen Lösungsweg/Ansatz erfreut
Falls es viele Methoden gibt um sowas zu lösen, ich muss es so lösen wie beschrieben, also mit Trennung der Variablen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Benni,
> [mm]xy'=x^{2}-y[/mm]
> Hallo
>
> ich peils einfach nicht mit allgemeiner Lösung :(
>
> folgendes hab ich gemacht:
>
> durch Umformung
> homogene DGL aufgestellt (ich hoffe das ist wenigstens
> richtig)
> [mm]y'+\bruch{y}{x}=0[/mm]
sorry, wenn ich hier schon unterbrechen muss, aber:
[mm] xy'=x^{2}-y [/mm] und ich teile dann durch x, erhalte ich:
[mm] y'=\bruch{x²}{x}-\bruch{y}{x}=x-\bruch{y}{x} [/mm] oder nicht?
wer lesen kann, ist klar im Vorteil
... der Ansatz stimmt ...
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Tequila |
Danke für die schnelle Antwort, aber
[mm] y'=x-\bruch{y}{x}
[/mm]
ist dann nicht x die Störfunktion?
also
[mm] y'+\bruch{y}{x}=x
[/mm]
dann wäre doch x die Störfunktion? oder nicht? wie mach ich denn sonst weiter?
ich hab x als Störfunktion angenommen und dann für die homogene DGL
x = 0 gesetzt
also [mm] y'+\bruch{y}{x}= [/mm] 0 gelöst
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Danke für die schnelle Antwort, aber
>
>
> [mm]y'=x-\bruch{y}{x}[/mm]
>
> ist dann nicht x die Störfunktion?
>
> also
>
> [mm]y'+\bruch{y}{x}=x[/mm]
>
> dann wäre doch x die Störfunktion? oder nicht? wie mach ich
> denn sonst weiter?
>
> ich hab x als Störfunktion angenommen und dann für die
> homogene DGL
> x = 0 gesetzt
>
> also [mm]y'+\bruch{y}{x}=[/mm] 0 gelöst
ach so, und ganz sicher nein - ich hab die DGL noch nicht durchgerechnet, aber ich glaube hier musst du substituieren.
erst mal nur 'ne Mitteilung, man wird ja vorsichtig ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
lg
Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
ich glaub' ich hab deinen Fehler und meinen dann halt auch 
also erstmal, funktioniert das doch nach deinem Ansatz: xy'+y=x²
nur
homogen: xy'+y=0
[mm] y'=-\bruch{y}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}=-\bruch{y}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{y}*dy=-\bruch{1}{x}*dx
[/mm]
[mm] ln|y|=-ln|x|+ln|C|=ln|C|-ln|x|=ln\vmat{\bruch{C}{x}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y=\bruch{C}{x}
[/mm]
damit müsstest du jetzt weiterkommen
lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Mo 13.03.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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