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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Mo 20.01.2014 | | Autor: | tooast |
| Aufgabe | | [mm] \pmat{ 1 & 3 & -1 & 4 | & 5 \\ 0 & 1 & -2 & 0 | &4 \\ 0 & -3 & 6 & 0 | & -12 } [/mm] |
Löse das LGS lautet die Aufgabe:
Mein Ziel ist es bei einer solchen Matrix die Nullzeilenstufenform zu erreichen um so einfach ablesen zu können was x1 x2 und x3 sind. auch x4?
wenn ich die dritte Zeile verändern will um aus -3 eine 0 zu machen, rechne ich die dritte Zeile + 3 * die zweite .
Demnach erhalte ich folgende matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & -1 & 4 | & 5 \\ 0 & 1 & -2 & 0 | &4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 | & 0 }
[/mm]
Was kann ich dann darüber aussagen? Leere Lösungsmenge und die AUfgabe ist beantwortet?
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> [mm]\pmat{ 1 & 3 & -1 & 4 | & 5 \\ 0 & 1 & -2 & 0 | &4 \\ 0 & -3 & 6 & 0 | & -12 }[/mm]
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> Löse das LGS lautet die Aufgabe:
>
> Mein Ziel ist es bei einer solchen Matrix die
> Nullzeilenstufenform zu erreichen um so einfach ablesen zu
> können was x1 x2 und x3 sind. auch x4?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Was soll "Nullzeilenstufenform" bedeuten ?
> wenn ich die dritte Zeile verändern will um aus -3 eine 0
> zu machen, rechne ich die dritte Zeile + 3 * die zweite .
>
> Demnach erhalte ich folgende matrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & -1 & 4 | & 5 \\ 0 & 1 & -2 & 0 | &4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 | & 0 }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Was kann ich dann darüber aussagen? Leere Lösungsmenge
> und die AUfgabe ist beantwortet? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wie willst du aus der verbliebenen Matrix auf eine
leere Lösungsmenge schließen ?
Dies könntest du zwar zum Beispiel, wenn du etwa
eine Zeile
[mm] $\pmat{0 & 0 & 0 & 0\ | & 18}$
[/mm]
hättest erzeugen können (links lauter Nullen,
rechts aber keine Null !). Eine Zeile aus lauter Nullen
(auch rechts) bedeutet aber so ungefähr das Gegen-
teil, nämlich: diese Gleichung wird durch ganz
beliebige Zahlen erfüllt. Für das vorliegende
System, das zunächst 3 Gleichungen für 4 Unbekannte
hatte, heißt die Entstehung der Nullzeile einfach,
dass sich das System sogar zu einem System aus
nur 2 Gleichungen für 4 Unbekannte reduziert.
Da die 2 verbliebenen Gleichungen nun wirklich
unabhängig sind, bedeutet dies: Die Lösungsmenge
ist geometrisch gesehen zweidimensional.
Die Lösungen kann man so darstellen, dass man 2
Parameter frei wählen und dann alle 4 Lösungs-
komponenten dadurch ausdrücken kann.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Mo 20.01.2014 | | Autor: | tooast |
Nullzeilenstufenform bedeutet so viel wie eine Einheitsmatrix erzeugen.
Könnte ich dann für die Aufgabe x3 und x4 beliebig definieren?
Sei x3 = 3 und x4 = 2 ,dann könnte ich demnach x1 und x2 bestimmen?
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Hallo tooast,
> Nullzeilenstufenform bedeutet so viel wie eine
> Einheitsmatrix erzeugen.
>
>
> Könnte ich dann für die Aufgabe x3 und x4 beliebig
> definieren?
> Sei x3 = 3 und x4 = 2 ,dann könnte ich demnach x1 und x2
> bestimmen?
Setze [mm]x_{3}=s, \ x_{4}=t[/mm],
dann kannst Du [mm]x_{1}, \ x_{2}[/mm] bestimmen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Mo 20.01.2014 | | Autor: | tooast |
> Setze [mm]x_{3}=s, \ x_{4}=t[/mm],
> dann kannst Du [mm]x_{1}, \ x_{2}[/mm] bestimmen.
Muss ich dann mit Variabeln weiterrechnen?
wenn [mm] x_{3} [/mm] und [mm] x_{4} [/mm] beliebig sind, dann kann ich doch in einem beispiel sagen, dass sie jetzt gerade [mm] x_{3}= [/mm] 3 und [mm] x_{4} [/mm] = 2 sind, oder nicht?
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Hallo, das Gleichungssystem ist allgemein zu lösen, [mm] x_4=t [/mm] und [mm] x_3=s, [/mm]
aus der 2. Zeile folgt:
[mm] x_2-2s=4
[/mm]
[mm] x_2=4+2s
[/mm]
jetzt in 1. Zeile einsetzen und [mm] x_1 [/mm] berechnen
[mm] x_1+3(4+2s)-s+4t=5
[/mm]
[mm] x_1= [/mm] ....
Steffi
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