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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Sa 16.10.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Suchen Sie die allgemeine Lösung für die Gleichung
y'= [mm] \bruch{y}{x} [/mm] - [mm] \bruch{x^2}{y^2} [/mm] |
Hallo zusammen,
sitze grade an dieser Aufgabe aber komm da iwie nicht weiter...
hab mir überlegt, dies zuerst mit substitution zu lösen
aber ich weiß nicht wirklich wie ich das substituieren soll denn wenn ich das so mache:
u= [mm] \bruch{y}{x} [/mm] - [mm] \bruch{x^2}{y^2}
[/mm]
dann kann ich die gleichung irgendwie nicht nach y auflösen!
kann mir da vllt jemand einen tipp geben?
danke schonmal
gruß,
peeetaaa
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Hallo Peter,
> Suchen Sie die allgemeine Lösung für die Gleichung
>
> y'= [mm]\bruch{y}{x}[/mm] - [mm]\bruch{x^2}{y^2}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> sitze grade an dieser Aufgabe aber komm da iwie nicht
> weiter...
> hab mir überlegt, dies zuerst mit substitution zu lösen
> aber ich weiß nicht wirklich wie ich das substituieren
> soll denn wenn ich das so mache:
> u= [mm]\bruch{y}{x}[/mm] - [mm]\bruch{x^2}{y^2}[/mm]
> dann kann ich die gleichung irgendwie nicht nach y
> auflösen!
> kann mir da vllt jemand einen tipp geben?
> danke schonmal
Na, hast du schonmal Dgl der Form [mm] $y'=f\left(\frac{y}{x}\right)$ [/mm] gesehen?
Da gibt's doch die Standardsubstitution [mm] $z=\frac{y}{x}$
[/mm]
Die funktioniert hier auch...
Beginne also mit [mm] $z:=\frac{y}{x}$
[/mm]
Dann ist $y'= ...$
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Sa 16.10.2010 | | Autor: | peeetaaa |
also irgendwie komm ich da trotzdem nicht wirklich weiter
warum betrachte ich denn nur [mm] z=\bruch{x}{y} [/mm] und vernachlässige das [mm] \bruch{-x^2}{y^2} [/mm] ?
wenn ich das so machen würde dann wäre
y'= z'(x)*x+z(x)
und das nach [mm] z'(x)=\bruch{y'-z(x)}{x}
[/mm]
wegen y' = f(z) folgt [mm] z'(x)=\bruch{f(z)-z(x)}{x}
[/mm]
das wäre dann [mm] \bruch{dz}{dx}= \bruch{f(z)-z(x)}{x}
[/mm]
--> [mm] \bruch{dz}{f(z)-z(x)} [/mm] = [mm] \bruch{dx}{x}
[/mm]
das integriert wäre dann
ln|f(z)-z(x)| = ln|x+c|
aber iwie hab ich da ein ganz schlechtes gefühl bei...
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Hallo nochmal,
> also irgendwie komm ich da trotzdem nicht wirklich weiter
>
> warum betrachte ich denn nur [mm]z=\bruch{x}{y}[/mm] und
> vernachlässige das [mm]\bruch{-x^2}{y^2}[/mm] ?
Schaue mal genauer hin ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]")
Da steht doch [mm]y'=\frac{y}{x}-\frac{x^2}{y^2}=\frac{y}{x}-\frac{1}{\left(\frac{y}{x}\right)^2}=z-\frac{1}{z^2}[/mm]
>
> wenn ich das so machen würde dann wäre
> [mm]\red{y'= z'(x)*x+z(x)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und das nach [mm]z'(x)=\bruch{y'-z(x)}{x}[/mm]
In der Ausgangsdgl. steht mit der Substitution [mm]y'=z-\frac{1}{z^2}[/mm]
Setze das mit der richtigen roten Ableitung oben gleich und du hast eine simple trennbare Dgl in z=z(x)
> wegen y' = f(z) folgt [mm]z'(x)=\bruch{f(z)-z(x)}{x}[/mm]
>
> das wäre dann [mm]\bruch{dz}{dx}= \bruch{f(z)-z(x)}{x}[/mm]
> -->
> [mm]\bruch{dz}{f(z)-z(x)}[/mm] = [mm]\bruch{dx}{x}[/mm]
>
> das integriert wäre dann
> ln|f(z)-z(x)| = ln|x+c|
>
> aber iwie hab ich da ein ganz schlechtes gefühl bei...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Sa 16.10.2010 | | Autor: | peeetaaa |
okay danke das hab ich übersehen
hab jetzt also
y'= [mm] z'(x)\cdot{}x+z(x)
[/mm]
und weiß das y'= z- [mm] \bruch{1}{z^2} [/mm] ist
das gleichsetzen
z- [mm] \bruch{1}{z^2}= z'(x)\cdot{}x+z(x)
[/mm]
=> z'(x)= [mm] \bruch{-1}{z^2*x}
[/mm]
=> [mm] \bruch{dz}{dx}= \bruch{-1}{z^2*x}
[/mm]
=> [mm] z^2 [/mm] dz = [mm] \bruch{-1}{x} [/mm] dx
dies integriert ergibt:
[mm] \bruch{1}{3}z^3 [/mm] = -ln|x+c|
=> [mm] \wurzel[3]{-3* ln|x+c|}
[/mm]
geht das so?
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Hallo nochmal,
> okay danke das hab ich übersehen
>
> hab jetzt also
> y'= [mm]z'(x)\cdot{}x+z(x)[/mm]
> und weiß das y'= z- [mm]\bruch{1}{z^2}[/mm] ist
> das gleichsetzen
>
> z- [mm]\bruch{1}{z^2}= z'(x)\cdot{}x+z(x)[/mm]
> => z'(x)=
> [mm]\bruch{-1}{z^2*x}[/mm]
> => [mm]\bruch{dz}{dx}= \bruch{-1}{z^2*x}[/mm]
> => [mm]z^2[/mm] dz =
> [mm]\bruch{-1}{x}[/mm] dx
>
> dies integriert ergibt:
> [mm]\bruch{1}{3}z^3[/mm] = -ln|x+c|
> => [mm]\wurzel[3]{-3* ln|x+c|}[/mm]
>
> geht das so?
Sieht bis auf eine Kleinigkeit gut aus.
Die Integrationskonstante gehört nicht in das Argument vom [mm] $\ln$ [/mm] sondern als Extrasummand dahinter:
[mm] $\int{-\frac{1}{x} \dx}=\ln(|x|) [/mm] \ + \ c$
Dann analog zu deiner Rechnung ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Sa 16.10.2010 | | Autor: | peeetaaa |
okay danke fürs verbessern
jetzt muss ich ja quasi nur noch die Re-Substitution machen
einsetzen von z in [mm] z=\bruch{y}{x} [/mm]
[mm] \wurzel[3]{-3\cdot{} ln|x|+c} [/mm] = [mm] \bruch{y}{x} [/mm]
also
y= x* [mm] (\wurzel[3]{-3\cdot{} ln|x|+c})
[/mm]
kann man das noch vereinfachen oder wars das schon?
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Hallo nochmal,
> okay danke fürs verbessern
>
> jetzt muss ich ja quasi nur noch die Re-Substitution
> machen
>
> einsetzen von z in [mm]z=\bruch{y}{x}[/mm]
>
> [mm]\wurzel[3]{-3\cdot{} ln|x|+c}[/mm] = [mm]\bruch{y}{x}[/mm]
> also
> y= x* [mm](\wurzel[3]{-3\cdot{} ln|x|+c})[/mm]
Das sieht gut aus!
>
> kann man das noch vereinfachen oder wars das schon?
Ich würde meinen, das war's
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Sa 16.10.2010 | | Autor: | peeetaaa |
aber ich kann das c einfach so lassen und muss nicht 3c schreiben oder? weils ja eine konstante is oder?
aber danke für die hilfe!!
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Hallo nochmal,
> aber ich kann das c einfach so lassen und muss nicht 3c
> schreiben oder? weils ja eine konstante is oder?
Das [mm]c[/mm] war ja die Integrationskonstante nach der Integration.
Und es war beliebig reell.
Dann hast du im Verlaufe der weiteren Rechung mit [mm]3[/mm] multipliziert, so dass da eigentlich [mm]-3\ln(|x|)+3c[/mm] stehen sollte.
Aber das [mm]3c[/mm] ist genauso beliebig; wenn [mm]c[/mm] ganz [mm]\IR[/mm] durchlaufen kann, dann 3c auch.
Wenn du ganz genau wärest, müsstest du das c eigentlich nochmal umtaufen und [mm]c_1:=3c[/mm] sagen und schreiben [mm]y=\sqrt[3]{-3\ln(|x|)+c_1}[/mm] mit [mm]c_1\in\IR[/mm]
>
> aber danke für die hilfe!!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:34 So 17.10.2010 | | Autor: | peeetaaa |
Danke!!! War eine super hilfe!
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