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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Fr 15.10.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Suchen Sie die allgemeine Lösung für die Gleichung
y'= [mm] (x+y)^2 [/mm] |
Hallo,
sitze grade an dieser Aufgabe und bin mir da etwas unsicher.
wollte jetzt erstmal mit substitution anfangen:
u= (x+y)
das nach y aufgelöst ergibt: y=u-x also y= u(x)-x
jetzt nach y ableiten: y'= u'(x)-1
daraus folgt: [mm] y'(x)=(x+y)^2 [/mm] = [mm] u^2
[/mm]
jetzt setze ich y' in die dgl
--> [mm] u'(x)-1=u^3
[/mm]
[mm] -->u'(x)=1+u^2
[/mm]
so ist das bis hierhin richtig?
wie muss ich dann jetzt weiter fortfahren?
muss ich jetzt erst die re-substitution machen oder die dgl jetzt einfach auflösen?
wäre toll wenn mir jemand ein paar hinweise geben könnte..
danke
gruß
peeetaaa
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Hallo Peter,
> Suchen Sie die allgemeine Lösung für die Gleichung
> y'= [mm](x+y)^2[/mm]
> Hallo,
>
> sitze grade an dieser Aufgabe und bin mir da etwas
> unsicher.
> wollte jetzt erstmal mit substitution anfangen:
>
> u= (x+y)
> das nach y aufgelöst ergibt: y=u-x also y= u(x)-x
> jetzt nach y ableiten: y'= u'(x)-1
>
> daraus folgt: [mm]y'(x)=(x+y)^2[/mm] = [mm]u^2[/mm]
> jetzt setze ich y' in die dgl
>
> --> [mm]u'(x)-1=u^3[/mm]
Hier hast du dich vertippt und meinst [mm]u^2[/mm]
> [mm]-->u'(x)=1+u^2[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> so ist das bis hierhin richtig?
> wie muss ich dann jetzt weiter fortfahren?
> muss ich jetzt erst die re-substitution machen oder die
> dgl jetzt einfach auflösen?
Na, die Dgl ist doch nun trennbar:
Mit [mm]u'=\frac{du}{dx}[/mm] hast du dann [mm]\frac{1}{u^2+1} \ du \ = \ 1 \ dx[/mm]
Nun integrieren ...
Am Ende dann resubstituieren!
>
> wäre toll wenn mir jemand ein paar hinweise geben
> könnte..
> danke
>
> gruß
> peeetaaa
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Fr 15.10.2010 | | Autor: | peeetaaa |
ach gut, genau das wollte ich wissen
habe jetzt [mm] \frac{1}{u^2+1} [/mm] \ du \ = \ 1 \ dx integriert und bekomme
arctan(u) = x raus. ist das richtig?
wenn das richtig sein sollte dann weiß ich aber nicht, wie die re-substitution aussehen sollte...muss ich nicht am ende dann ein y rausbekommen?
kann doch dann nicht einfach arctan (x+y)= x schreiben oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:44 Sa 16.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo peeetaaa!
> arctan(u) = x raus. ist das richtig?
Nicht ganz! Es fehlt noch eine Integrationskonstante:
[mm] $\arctan(u) [/mm] \ = \ x+C$
Nun wende zunächst auf beiden Seiten der Gleichung den [mm] $\tan(...)$ [/mm] an und dann wieder ersetzen: $u \ = \ x+y$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Sa 16.10.2010 | | Autor: | peeetaaa |
oh stimmt, die vergesse ich immer! danke!
aber das mit dem tan hab ich noch nicht so verstanden..
inwiefern kann ich den hier denn benutzen?
kann mir das vllt noch jmd erklären?
gruß,
peeetaaa
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Hallo nochmal,
> oh stimmt, die vergesse ich immer! danke!
> aber das mit dem tan hab ich noch nicht so verstanden..
> inwiefern kann ich den hier denn benutzen?
> kann mir das vllt noch jmd erklären?
Ja wie jetzt?
Nach dem Integrieren hast du doch [mm] $\arctan(u)=x+c$
[/mm]
Tangens und Arcustangens sind invers zueinander, also
[mm] $\tan(\arctan(u))=u=\tan(x+c)$
[/mm]
Nun wieder u schreiben als $u=x+y$
Also [mm] $x+y=\tan(x+c)$
[/mm]
Somit [mm] $y=\tan(x+c)-x$
[/mm]
Nun mache dir noch Gedanken über den Definitionsbereich ...
>
> gruß,
> peeetaaa
Zurück
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Sa 16.10.2010 | | Autor: | peeetaaa |
wusste gar nicht, dass ich das mit dem tangens so machen kann aber danke!
okay beim definitionsbereich hab ich mir folgendes gedacht
also der tangen ist ja nur im Intervall [mm] (\bruch{-1}{2} [/mm] ; [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] definiert...also müsste das tan(x+c) ja in diesem intervall liegen...aber da das "-x" noch am ende steht bin ich mir nicht sicher ob das überhaupt relevant is...da dies ja überall definiert ist...
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Hallo nochmal,
> wusste gar nicht, dass ich das mit dem tangens so machen
> kann aber danke!
>
> okay beim definitionsbereich hab ich mir folgendes gedacht
>
> also der tangen ist ja nur im Intervall [mm](\bruch{-1}{2}[/mm] ; [mm]\bruch{1}{2})[/mm] definiert...
Hmm, das ist mir neu.
Ich dachte immer, es ist [mm]\tan(z)=\frac{\sin(z)}{\cos(z)}[/mm], mithin ist der Tangens an den Nullstellen des [mm]\cos[/mm] nicht definiert ...
> also müsste das tan(x+c) ja in
> diesem intervall liegen...aber da das "-x" noch am ende
> steht bin ich mir nicht sicher ob das überhaupt relevant
> is...da dies ja überall definiert ist...
Es kommt nur auf den Tangensausdruck an.
Meines Erachtens bekommst du Lösungsfunktionen [mm]y_k[/mm] in Abh. von den Definitionsintervallen, aber dazu siehe weiter oben ...
Da musst du nochmal genauer nachdenken!
Gruß
schachuzipus
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