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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Allgemeine Frage über Span
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Allgemeine Frage über Span: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:48 Fr 12.12.2014
Autor: Rzeta

Aufgabe
[mm] \vec{v}= \pmat{ 1 \\ 2 \\ 0 }; \vec{w}=\pmat{ 2 \\ 4a \\ a-1 }; \vec{x}=\pmat{ -5 \\ 2 \\ 3 } [/mm]

Für welche [mm] a\in\IR [/mm] gilt [mm] \vec{x}\in span(\vec{v},\vec{w}) [/mm]

Hallo,

einmal ganz allgemein. Wie rechne ich nach ob ein Vektor in meinem Span ist oder nicht?

Wenn ich [mm] \vec{x} [/mm] als Linearkombination von [mm] \vec{v} [/mm] und [mm] \vec{w} [/mm] darstellen kann dann ist er doch auch logischerweise [mm] \in [/mm]  span [mm] (\vec{v},\vec{w}) [/mm] oder?

Wenn ich jetzt das Gleichungssystem aufstelle:

[mm] \lambda \pmat{ 1 \\ 2 \\ 0 }+\mu \pmat{ 2 \\ 4a \\ a-1 }=\pmat{ -5 \\ 2 \\ 3 } [/mm]

[mm] \Rightarrow \lambda+2\mu=-5 [/mm]
[mm] 2\lambda+4a\mu=2 [/mm]
[mm] \mu(a-1)=3 [/mm]

Dann kann ich doch eigentlich nur [mm] a\not=1 [/mm] ausschließen oder?

Ich verstehe nicht so wirklich wie das Lösen kann. Oder in den Worten Lukas Podolski: Wasn los hier?

Vielleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen

Gruß

Rzeta



        
Bezug
Allgemeine Frage über Span: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Fr 12.12.2014
Autor: MathePower

Hallo Rzeta,

> [mm]\vec{v}= \pmat{ 1 \\ 2 \\ 0 }; \vec{w}=\pmat{ 2 \\ 4a \\ a-1 }; \vec{x}=\pmat{ -5 \\ 2 \\ 3 }[/mm]
>  
> Für welche [mm]a\in\IR[/mm] gilt [mm]\vec{x}\in span(\vec{v},\vec{w})[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> einmal ganz allgemein. Wie rechne ich nach ob ein Vektor in
> meinem Span ist oder nicht?
>  
> Wenn ich [mm]\vec{x}[/mm] als Linearkombination von [mm]\vec{v}[/mm] und
> [mm]\vec{w}[/mm] darstellen kann dann ist er doch auch
> logischerweise [mm]\in[/mm]  span [mm](\vec{v},\vec{w})[/mm] oder?
>  
> Wenn ich jetzt das Gleichungssystem aufstelle:
>  
> [mm]\lambda \pmat{ 1 \\ 2 \\ 0 }+\mu \pmat{ 2 \\ 4a \\ a-1 }=\pmat{ -5 \\ 2 \\ 3 }[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \lambda+2\mu=-5[/mm]
>  [mm]2\lambda+4a\mu=2[/mm]
>  [mm]\mu(a-1)=3[/mm]
>  
> Dann kann ich doch eigentlich nur [mm]a\not=1[/mm] ausschließen
> oder?
>  
> Ich verstehe nicht so wirklich wie das Lösen kann. Oder in
> den Worten Lukas Podolski: Wasn los hier?
>  


Löse zunächst die ersten beiden Gleichungen
nach [mm]\lambda, \ \mu[/mm] auf.
Dann siehst Du welche a auszuschliessen sind.


> Vielleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen
>  
> Gruß
>  
> Rzeta
>  


Gruss
MathePower  

Bezug
                
Bezug
Allgemeine Frage über Span: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:54 Sa 13.12.2014
Autor: Rzeta

Danke für die Antwort aber mir hat das nicht wirklich weitergeholfen.

Wenn ich die Gleichungen jetzt umstelle:

[mm] \lambda+2\mu=-5 \gdw \lambda=-2\mu-5 [/mm]

[mm] 2\lambda+4a\mu=2 \gdw \lambda= 1-2a\mu [/mm]

[mm] \Rightarrow -2\mu-5=1-2a\mu \gdw \mu(a-1)=3 [/mm]

Da komm ich wieder auf das Ergebnis aus meiner letzten Gleichung.

Wenn ich nach [mm] \mu [/mm] auflöse:

[mm] \mu=\bruch{-5-\lambda}{2} [/mm]
[mm] \mu=\bruch{1-\lambda}{2a} [/mm]

[mm] \Rightarrow \bruch{-5-\lambda}{2}=\bruch{1-\lambda}{2a} \gdw \lambda=\bruch{5a+1}{1-a} [/mm]

Entweder ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht oder ich habe was fundamentales nicht verstanden.

Liebe Grüße

Rzeta

Bezug
                        
Bezug
Allgemeine Frage über Span: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:21 Sa 13.12.2014
Autor: angela.h.b.

Hallo,

es ist richtig, daß nur für a=1 der Vektor nicht im Span der beiden anderen liegt, oder anders gesagt:
für alle [mm] a\not=1 [/mm] liegt er im besagten Span.

LG Angela
 

Bezug
                                
Bezug
Allgemeine Frage über Span: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:07 Sa 13.12.2014
Autor: Rzeta

Danke angela!

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