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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 So 17.10.2004 | | Autor: | Toyo |
Hallo, brauche dringend eure Hilfe, hab leider überhaupt keine Idee, wie ich an diesen Beweis rangehen muss.
Die Aufgabe lautet:
Man beweise das Allgemeine Assoziativgesetz für Halbgruppen (H,*). Für jede beliebig geklammerte Verknüpfung [a1 * ... * an] ( 1, n sollen tiefgestellt sein) von Elementen a1, ..., an [mm] \in [/mm] H (1,n sollen tiefgestellt sein) (in dieser Reihenfilge) gilt
[a1 * ... * an] = (...((a1 * a2) * a3) * ...) * an
(rechts steht dabei die induktiv definierbare "kanonische" Klammerung)
Hat jemand eine Idee hierzu? Und was heißt kanonische Klammerung?
Vielen Dank im Vorraus.
Gruß Toyo
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Guten Morgen!
Fangen wir hinten an... sind Elemente [mm] $a_1, \ldots a_n \in [/mm] H$ gegeben mit der Anweisung, diese zu multiplizieren, also das Prodúkt
[mm] $a_1 [/mm] * [mm] \ldots [/mm] * [mm] a_n$ [/mm] zu berechnen, dann ist die "kanonische" Klammerung eine Angabe der Reihenfolge, in der dies zu tun ist. Für gewöhnlich macht man dies nämlich "von links nach rechts", also man multipliziert zunächst [mm] $a_1$ [/mm] mit [mm] $a_2$ [/mm] und an das Ergebnis multipliziert man dann [mm] $a_3$ [/mm] und so weiter.
Das allgemeine Assoziativgesetz besagt nun, dass diese Art zu klammern keine Beschränkung der Allgemeinheit ist - egal wie man klammert, es kommt stets das gleiche heraus.
Benutzen darf man allerdings, dass in Halbgruppen gilt:
$a*(b*c) = (a*b)*c [mm] \quad \forall \; [/mm] a,b,c [mm] \in [/mm] H$
also das reguläre Assoziativgesetz. Die Aufgabe ist also, dieses per Induktion auf mehr als 3 Faktoren zu erweitern und zu zeigen, dass es auch für $n$ Faktoren keine Rolle spielt, wie diese geklammert sind.
Viel Glück!
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 Di 19.10.2004 | | Autor: | Toyo |
Hi Lars, also ich glaube ich hab jetzt die Grobe Beweisstruktur verstanden, aber ich weiß nicht so genau wie ich es aufschreiben soll.
Also ich fange jetzt mit dem regulären Assoziativgesetz für Halbgruppen an:
a*(b*c)=(a*b)*c [mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in [/mm] H
wenn ich jezt a = d*e setze dann gilt
(d*e)*(b*c)=((d*e)*b)*c
jetzt setze ich d=f*g ... usw.
dann gilt fuer den n-ten Schritt:
(...(a1*a2)*a3)...)*an
und fuer den n+1-ten Schritt
(...(a1*a2)*a3)...*an)*an+1
Aber ist das so richtig aufgeschrieben, ich glaube nicht, aber ich hab leider überhaupt keinen Plan wie ich es aufschreiben soll.
Ganz selbstkritisch muss ich sagen, dass es ja hier gar keinen eigentlichen Induktionsschritt gibt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Di 19.10.2004 | | Autor: | Cordo |
Hi,
versuche es doch mit "richtiger" Induktion.
Induktionsanfang ist ja gegeben durch das Assoziativgesetz.
I.V.: Die Aussage gelte für [mm] a_1,...,a_n
[/mm]
I.S.: häng hinten ein [mm] a_{n+1} [/mm] dran und nutze die Induktionsvoraussetzung.
Wenn Du da Probleme hast, kannst Du Dich ja nochmals melden!
Grüße, Cordo.
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