Allg. Fragen wg. Klausur Ana1 < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Tach auch!
Schreibe demnächst Mathe (Mi.) und unser Prof. hat eine Liste ins netz gestellt mit Themen, die wir für die Klausur können sollten. Da ich aber nicht zu den Mathespezies gehöre bin ich beim nacharbeiten über einige Probleme gestolpert...
Ich werde nun kurz die Themen beschreiben und dazu schreiben was ich meine (nicht) verstanden zu haben.
Wäre nett wenn sich das mal jmd. ansehen könnte und mich vor schwerwiegenden Fehlern bewahrt!
1. ABLEITUNG
Ketten-, Produkt- und Quotientenregel hab ich verstanden, denke ich... (klasse Buch hierzu: Lothar Papula - Mathe für Ing. u. Naturwiss. Übungsaufg.)
2. HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHN.
Beschreibt doch nur den Zusammenhang zwischen Differentiation und Integration - also Ableitung, Fkt. und STammfkt. -oder?
3. PART. U. TOTALE DIFFBARKEIT
Part. D.: Ableitung einer Fkt., die von mehreren Var. abhängt nach einer od. mehreren Var. Fkt. ist part. diffbar wenn der Differenzenquotient bezogen auf die Variable exist.
Totale D.: Abl. nach allen (<-?) Veränderlichen einer Fkt.
Total diffbar falls... Keine Ahnung. Könnte man nicht sagen, dass die Fkt. tot. Diffb. ist wenn alle Differenzenquotienten exist.? Da gibts aber ne ganz andere Version für, die ich nicht gecheckt habe.
4. STETIGE FORTSETZBARKEIT
Schauen, an welcher Stelle Fkt. nicht definiert => wenn der Nenner gleich Null ist bei bestimmten Werten. Schauen ob behebbar oder Polstelle.
Frage: Ist da die Regel von L'Hospital immer für geeignet oder MUSS man manchmal auf eine andere zurückgreifen?
5. PARTIELLE INTEGRATION
Formel benutzen... Aber integrieren ist sowieso eine Welt für sich...
6. INTEGRALABSCHÄTZUNG
Mittelwertsatz/Zwischenwertsatz benutzen.
7. SPRUNGSTELLEN
Sind doch Unstetigkeitsstellen, oder? Da fällt mir nur das Epsilon-Delta-Krit. oder Mittelwertsatz/Satz von Rolle ein. Aber welche Methoden sind die effektivsten beim Aufffinden von unstetigkeitsstellen? Blöde Unstetigkeit.
8. reelle Fourier-Reihe einer 2p-periodischen Funktion f(x) inkl.
Übereinstimmung mit f(x) (sog. Fundamentalsatz)
Formel für Fourierreihe nehmen und die Koeffizienten ausrechnen. Evtl. fällt bei best. Symmetrien einer wech. Aber was soll "Übereinstimmung mit f(x) (sog. Fundamentalsatz)" bedeuten?
9. VEKTORRÄUME MIT SKALARPRODUKT
Steig ich nicht durch. Script: Prähilberträume, Metrik, Norm, Orthogonalsystem, etcpp. Was gibts denn da für bestimmte Klausuraufgaben?
10. DISTRIBUTIONEN
reguläre Distr.(Abb. aud dem Schartz-Raum): zu behandelnde Testfkt. in das tolle Integral (von Minus unendl. bis + unendl.) einsetzten und dann schauen was passiert.
-> Dirac'sche Distr.: hab irgendwo gelesen, dass dies eine Fkt. ist, die bei x|=a 0 ist und bei x=a unendl. ist. Toll. Und dann? Was könnte er damit für Aufgaben stellen?
11. FALTUNG
Da gibts doch auch ein Integral, in das man die zu Faltenden Fkt. einsetzt. Mehr hatten wir auch nicht wirklich dazu gemacht. Scheint aber viele interessante Anwendungen in der Physik zu geben.
12. STETIGE ABBb. zw. METRISCHEN RÄUMEN (X,d)
Metrik: Fkt., die je zwei Punkten eines Raumes einen reelen Wert zuordnet, der als Abstand der beiden Punkte voneinander aufgefasst werden kann. Für diesen Raum gibts dann bestimmte Bedingungen. -> d(x,y) =0 <=> x=y (klar: keine Differenz=>kein Abstand), d(x,y)=d(y,x) (Weg ist egal). d(xy)<=d(x,z)+d(z,y) (Umweg über einen dritten von 2 Punkten muss größer gleich der Weg zwischen zwei Punkten sein).
welche Themengebiete schließt das mit der "stetigen Abbildung" ein? Gehören dazu auch Extremwertaufgaben von Fkt. mehrerer Veränderl.?
13. Stetigkeit und Beschränktheit von rellen Funktionen in mehreren Unbestimmten
Welche Stetigkeitsregeln gelten denn für Fkt. mit mehr. Unbek.? Und wie stellt man am besten die Beschränktheit bei solchen Fkt. fest?
Wär nett wenn sich jemand zu einer Antwort durchringen könnte. Viell. schaff ichs diesmal tatsächlich beim ersten Versuch zu bestehen. Wunder gibt es immer wieder...
mfg, SP
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo schweinepriester!
Direkt ein Tipp fürs nächste Mal: nicht so viele Fragen auf einmal! Am besten stellst du einmal ganz deine Fragestellung, also z. B. dass du mehrere Fragen hast und wir die mal durchlesen sollen, und dann machst du für jede Frage, oder bei so vielen dann auch vllt. für drei oder vier zusammen, eine neue Frage auf, aber in deinem Strang mit der "Einleitung", ok?
Ich werde mir jetzt auch nur mal die ersten Fragen anschauen...
> 1. ABLEITUNG
> Ketten-, Produkt- und Quotientenregel hab ich verstanden,
> denke ich... (klasse Buch hierzu: Lothar Papula - Mathe für
> Ing. u. Naturwiss. Übungsaufg.)
Ich nehme an, du hast dann auch ganz viele Aufgaben gerechnet? Eigentlich ist das ja noch Schulstoff, aber wenn du's verstanden hast, ist es ja gut. 
> 2. HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHN.
> Beschreibt doch nur den Zusammenhang zwischen
> Differentiation und Integration - also Ableitung, Fkt. und
> STammfkt. -oder?
Also, ich merke mir das immer einfach so: Die Ableitung eines Integrals ist die Funktion selber. Das ist zwar vielleicht nicht ganz korrekt, vor allem fehlen da die Voraussetzungen, aber ich glaube, mehr als den Zusammenhang, den du meinst, beschreibt das Ganze nicht.
> 3. PART. U. TOTALE DIFFBARKEIT
> Part. D.: Ableitung einer Fkt., die von mehreren Var.
> abhängt nach einer od. mehreren Var. Fkt. ist part. diffbar
> wenn der Differenzenquotient bezogen auf die Variable
> exist.
Also, ich glaube, man kann eine Fkt von mehreren Var. nur nach einer Var. gleichzeitig ableiten, also:
Part. D.: Ableitung einer Fkt., die von mehreren Var. abhängt nach einer od. mehreren Var.
der Rest müsste wohl stimmen
> Totale D.: Abl. nach allen (<-?) Veränderlichen einer Fkt.
> Total diffbar falls... Keine Ahnung. Könnte man nicht
> sagen, dass die Fkt. tot. Diffb. ist wenn alle
> Differenzenquotienten exist.? Da gibts aber ne ganz andere
> Version für, die ich nicht gecheckt habe.
So ganz weiß ich das auch nicht, also hier müsste bitte noch jemand anders etwas zu schreiben. Aber es reicht nicht für die totale Differenzierbarkeit, dass alle partiellen Ableitungen existieren, ich glaube, es müssen auch alle partiellen Ableitungen stetig sein.
Und deswegen reicht es wahrscheinlich auch nicht, dass alle Differenzenquotienten existieren, da dann die partiellen Ableitungen ja nicht stetig sind.
> 4. STETIGE FORTSETZBARKEIT
> Schauen, an welcher Stelle Fkt. nicht definiert => wenn
> der Nenner gleich Null ist bei bestimmten Werten. Schauen
> ob behebbar oder Polstelle.
> Frage: Ist da die Regel von L'Hospital immer für geeignet
> oder MUSS man manchmal auf eine andere zurückgreifen?
Sorry, da habe ich keine Ahnung von...
> 5. PARTIELLE INTEGRATION
> Formel benutzen... Aber integrieren ist sowieso eine Welt
> für sich...
Naja, wenn du mit "Formel benutzen" klarkommst, dann ist es gut. Ich hatte auch so meinen Probleme mit dem Integrieren, aber partielle Integration geht eigentlich ganz gut, wenn man sie öfters mal gemacht hat (und wenn man damit wirklich zur Lösung kommt...)
> 6. INTEGRALABSCHÄTZUNG
> Mittelwertsatz/Zwischenwertsatz benutzen.
Stimmt wahrscheinlich - ich kann mir jetzt nicht so ganz genau vorstellen, was du mit "Integralabschätzung" meinst.
Von den anderen Sachen habe ich leider so wenig Ahnung, dass ich dir da nicht wirklich helfen kann.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Di 19.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Zur totalen Differenzierbarkeit:
Sei [mm] U \subset \IR^n [/mm] offen und [mm] f: U \mapsto \IR^m [/mm] eine Abbildung.
Dann heißt [mm]f[/mm] in [mm] x \in U[/mm] total differenzierbar, wenn es eine lineare Abbildung [mm] A:\IR^n \mapsto \IR^m [/mm] gibt, so daß
[mm] \lim_{\|h\| \rightarrow 0}\limits \frac{1}{\|h\|} \| f(x+h)-f(x)-A(h) \| = 0 [/mm]
Anschaulich: Die Funktion lässt sich in $x$ "hinreichend gut" linear approximieren.
Die Existenz aller partiellen Ableitungen genügt nicht, wie Bastiane schon bemerkt hat. Sie ist nur notwendig (das wurde hier ausgenutzt: https://matheraum.de/read?t=80347&v=t), aber nicht hinreichend, siehe hier:
https://matheraum.de/read?t=65199&v=t
Ja, es genügt noch nicht einmal, dass alle Richtungsableitungen existieren (!), hier ein Gegenbeispiel:
$f : [mm] \begin{array}{ccc} \IR^2 & \to & \IR\\[5pt] (x,y) & \mapsto & \left\{ \begin{array}{ccc} \frac{x^2y}{x^4+y^2} & , & (x,y) \ne (0,0),\\[5pt] 0 & , & (x,y) = (0,0) \end{array} \right. \end{array}.$.
[/mm]
Alle Richtungsableitungen in $(0,0)$ existieren, aber die Funktion ist in $(0,0)$ nicht total differenzierbar.
Hier ein konkretes Beispiel, wo wir die totale Differenzierbarkeit mal direkt nachgeprüft haben:
https://matheraum.de/read?t=67044&v=t
Viele Grüße
Julius
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
de l'Hospital![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Achtung: Prüfen, ob diese Stelle [mm] $x_0$ [/mm] nicht immer noch Nullstelle des Nenners (und keine Nullstelle des Zählers) ist.
