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Moin Leute,
ich möchte anhand der Drehmatrix um einen beliebigen Einheitsvektor [mm] \vec{v}
[/mm]
als Rotationsachse beweisen, dass diese längentreu ist.
Hab gestern 2 stunden lang rumgerechnet, aber irgendwie klaapt das nicht.
also die matrix möcht ich jetzt nicht unbedingt hier reinschreiben, ist mir etwas zu aufwendig... ihr könnt sie hier ansdchauen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix
Die große lange am ende von Punkt "drehmatrizen des Raumes R³".
So, meiner Meinung nach muss ich mir jetzt irgendeinen Einheitsvektor raussuchen. hab das erst mit [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] * (1/1/1) probiert und dann auch mit [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{29}} [/mm] * (2/3/4).
als vektor, der gedreht werden soll, hab ich dann natürlich einen allg. genommen, also [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] (a_{1}/a_{2}/a_{3}).
[/mm]
für den drehwinkel hab ich 60° genommen, aber das müsste ja eigentlich egal sein, oder? weil allgemein geht das nicht.
Mal noch ne grundsätzliche frage. wenn ich cos 60° ausrechnen möchte, welche einstellung beim taschenrechner brauch ich dann? habs sowohl mit deg (ich denk mal das heißt degree, also grad?) probiert, als auch mir rad, hat aber beides nicht funktioniert.
wo liegt denn mein denkfehler, oder mss ich an diese sache ganz anders rangehen? ich komm einfach nicht drauf....
bin für jeden tipp dankbar.
lg, kleene
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Hallo,
wenn das eine Aufgabe aus der Mathematik ist, glaube ich nicht, daß Du einfach eine Matrix aus dem Internet nehmen und damit rumrechnen sollst.
Sind orthogonale Abbildungen/Matrizen ein Begriff? Weißt Du, daß diese Längen erhalten?
Falls dem so ist, dann wähle für die Drehung um v eine geeignete Basis, stell die Abbildungsmatrix auf, rechne vor, daß sie orthogonal ist, und fertig bist Du.
> So, meiner Meinung nach muss ich mir jetzt irgendeinen
> Einheitsvektor raussuchen.
Das reicht mit Sicherheit nicht, das müßte für jeden Einheitsvektor gezeigt werden.
> Mal noch ne grundsätzliche frage. wenn ich cos 60°
> ausrechnen möchte, welche einstellung beim taschenrechner
> brauch ich dann? habs sowohl mit deg
Das wäre die richtige Einstellung.
Gruß v. Angela
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Ich habe diese Matrix aus dem Internet und das passt auch so, das ist für meine Facharbeit.
Mein Lehrer hat mir gestern die Aufgabe gegeben, mit einem Vektor [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] (a_{1}/a_{2}/a_{3}) [/mm] allgemein zu zeigen, dass die Drehung mit dieser Matrix längentreu ist.
Mehr nicht. Und da hat sich eben bei mir obengenannte Frage gestellt.
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> Ich habe diese Matrix aus dem Internet und das passt auch
> so, das ist für meine Facharbeit.
> Mein Lehrer hat mir gestern die Aufgabe gegeben, mit einem
> Vektor [mm]\vec{a}[/mm] = [mm](a_{1}/a_{2}/a_{3})[/mm] allgemein zu zeigen,
> dass die Drehung mit dieser Matrix längentreu ist.
> Mehr nicht. Und da hat sich eben bei mir obengenannte Frage
> gestellt.
Wenn das so ist, dann mußt Du diese große Matrix nehmen (ohne Werte einszusetzen) und sie mit [mm] \vec{a} [/mm] multiplizieren.
Heraus kommst ein Vektor.
Dessen Länge müßtest Du nun berechnen, oder - etwas bequemer - das Quadrat seiner Länge, was zuerst nicht witzig aussieht, aber manche Terme werden wegfallen. Am Ende muß dann [mm] a_1^2 +a_2^2 +a_3^2 [/mm] dastehen. Damit ist dann gezeigt, daß die Länge unverändert bleibt.
Gruß v. Angela
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Ok, ich hatte für die Drehachse und für den Drehwinkel eben etwas eingesetzt.
Werde es also nochmal probieren :)
Vielen Dank!
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Also ich komm noch nicht so ganz klar damit. ich schreib jetzt hier mal einen kleinen teil der rechnung hin. es ist ja eine 3x3-Matrix, jetzt muss ich das skalarprodukt aus der 1. zeile mit [mm] \vec{a} [/mm] bilden. und das ganze muss ich dann quadrieren. da steht ja dann noch ne summe aus 3 komponenten, also
( [mm] a_{1} [/mm] * [mm] m_{1,1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] * [mm] m_{1,2} [/mm] + [mm] a_{3} [/mm] * [mm] m_{1,3} )^{2}
[/mm]
Darf ich da jetzt jeden einzelnen Summanden quadrieren?
Gut ich geh mal davon aus, dann müsste es heißen (ich beschränke mich jetzt mal nur noch auf den ersten summanden, würde ja dann beim 2. und 3. analog gehen):
[mm] (a_{1}cos \alpha [/mm] + [mm] a_{1}v^{2}_{1} [/mm] (1-cos [mm] \alpha))^{²}
[/mm]
Jetzt siehts mir mal stark nach binomischer Formel aus? (zum leichteren rechnen klammer ich jetzt mal [mm] a_{1} [/mm] aus).
[mm] a^{2}_{1} [/mm] * [mm] (cos^{2} \alpha [/mm] + 2*cos [mm] \alpha [/mm] * [mm] v^{2}_{1} [/mm] (1-cos [mm] \alpha) [/mm] + [mm] v^{4}_{1} [/mm] (1-cos [mm] \alpha)^{2}
[/mm]
Soweit richtig?
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> Also ich komm noch nicht so ganz klar damit. ich schreib
> jetzt hier mal einen kleinen teil der rechnung hin. es ist
> ja eine 3x3-Matrix, jetzt muss ich das skalarprodukt aus
> der 1. zeile mit [mm]\vec{a}[/mm] bilden. und das ganze muss ich
> dann quadrieren. da steht ja dann noch ne summe aus 3
> komponenten, also
> ( [mm]a_{1}[/mm] * [mm]m_{1,1}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm] * [mm]m_{1,2}[/mm] + [mm]a_{3}[/mm] * [mm]m_{1,3} )^{2}[/mm]
>
> Darf ich da jetzt jeden einzelnen Summanden quadrieren?
Hallo,
nein,
es ist [mm] (x+y+z)^2\not=x^2 [/mm] + [mm] y^2 +z^2.
[/mm]
Das ist etwas unbequemer...
Gruß v. Angela
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Aber ich muss doch irgendwie die Klammer von
> > ( [mm]a_{1}[/mm] * [mm]m_{1,1}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm] * [mm]m_{1,2}[/mm] + [mm]a_{3}[/mm] * [mm]m_{1,3} )^{2}[/mm]
auflösen, sonst kann ich doch niemals was wegkürzen oder?
gibt es da eine andere regel?
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> Aber ich muss doch irgendwie die Klammer von
> > > ( [mm]a_{1}[/mm] * [mm]m_{1,1}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm] * [mm]m_{1,2}[/mm] + [mm]a_{3}[/mm] * [mm]m_{1,3} )^{2}[/mm]
>
> auflösen, sonst kann ich doch niemals was wegkürzen oder?
> gibt es da eine andere regel?
Hallo,
na, Du kannst doch wohl
( [mm]a_{1}[/mm] * [mm]m_{1,1}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm] * [mm]m_{1,2}[/mm] + [mm]a_{3}[/mm] * [mm][mm] m_{1,3} [/mm] )*( [mm]a_{1}[/mm] * [mm]m_{1,1}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm] * [mm]m_{1,2}[/mm] + [mm]a_{3}[/mm] * [mm][mm] m_{1,3} [/mm] )
ausrechnen,
bzw.
(x+y+z)(x+y+z).
Gruß v. Angela
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Hey ihr Genies :)
Brauch schon wieder eure Hilfe.
Also wie oben beschrieben soll ich die Länge jener Drehmatrix um eine allgemeine Drehachse beweisen. Dank der Hilfe die ich schon bekommen hab, konnt ich das auch schon mal ansatzweise rechnen. Der Rechenweg stimmt auch schon, das hab ich meinen Lehrer gefragt.
Und nachdem diese Mörderrechnung das erste mal nicht geklappt hat wegen zu vielen vorzeichenfehlern oder was weiß ich, hab ich andere buchstaben ohne indizes genommen.
Also der Vektor, der gedreht werden soll [mm] \pmat{ a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} } [/mm] ist jetzt [mm] \pmat{ a \\ b \\ c } [/mm]
Der Vektor der Drehachse v = [mm] \pmat{ v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} } [/mm] wird zu v= [mm] \pmat{ m \\ n \\ p } [/mm]
Ich hab das jetzt alles nochmal schön sorgfältig gerechnet, konnte auch schon einige sachen (22 paare) rauskürzen. Trotzdem bleibt noch hammerviel übrig und ich hab keine ahnung, wie ich da jetzt weitermachen soll. Natürlich kann man überall immer mal was ausklammern und zusammenfassen, aber dadurch, das da kaum noch dabei ist, kann man trotzdem nich abziehen. Wie gesagt, am schluss müsste dann a²+b²+c² übrig bleiben.
Ich hab das ganze jetzt schonmal sortiert und schreib das alles jetzt einfach mal hier rein, vll sieht da ein mathematiker gleich, was zu tun ist?!? :)
Hinter des cos und sin gehört natürlich immer nochn [mm] \alpha [/mm]
hab ich der einfachheit halber weggelassen.
Übrig ist:
[mm] 2a^2 m^2 [/mm] cos(1-cos) + [mm] 2b^2 n^2 [/mm] cos(1-cos) +2 [mm] c^2 p^2 [/mm] cos(1-cos)
+ 4abmncos(1-cos) + 4acmpcos(1-cos) + 4bcnpcos(1-cos)
+ [mm] abm^2 [/mm] psin(1-cos) [mm] acm^2 [/mm] nsin(1-cos)
+ [mm] a^2 m^4 (1-cos)^2 [/mm] + [mm] b^2 n^4 (1-cos)^2 [/mm] + [mm] c^2 p^4 (1-cos)^2 [/mm]
+ [mm] a^2 m^2 n^2 (1-cos)^2 [/mm] + [mm] b^2m^2 n^2 (1-cos)^2 [/mm] + [mm] a^2 m^2 p^2 (1-cos)^2 [/mm] + [mm] c^2 m^2 p^2 (1-cos)^2 [/mm] + [mm] b^2 n^2 p^2 (1-cos)^2 [/mm] + [mm] c^2 n^2 p^2 (1-cos)^2 [/mm]
+ [mm] 2abm^3 n(1-cos)^2 [/mm] + [mm] 2acm^3 p(1-cos)^2 [/mm] + [mm] 2bcm^2 np(1-cos)^2 [/mm] + [mm] 2abmn^3 (1-cos)^2 [/mm] + [mm] 2acmn^2 p(1-cos)^2
[/mm]
+ [mm] 2bcn^3 p(1-cos)^2 [/mm] + [mm] 2abmnp^2 (1-cos)^2 [/mm] + [mm] 2acmp^3 (1-cos)^2 [/mm] + [mm] 2bcnp^3 (1-cos)^2
[/mm]
+ [mm] a^2 cos^2 [/mm] + [mm] b^2 cos^2 [/mm] + [mm] c^2 cos^2 [/mm]
[mm] -a^2 m^2 [/mm] psin cos
- [mm] 2bcnpsin^2 [/mm] - [mm] 2acmpsin^2 [/mm] - [mm] 2abmnsin^2 [/mm] + [mm] a^2 n^2 sin^2 [/mm] + [mm] b^2 m^2 sin^2 [/mm] + [mm] b^2 p^2 sin^2 [/mm] + [mm] c^2 n^2 sin^2 [/mm] + [mm] a^2 p^2 sin^2 [/mm] + [mm] c^2 m^2 sin^2 [/mm]
So, das wars. BItte nicht für verrückt halten :)
Vll sieht ja einer, wies weitergehn kann
Bin für jeden tipp dankbar!!!!
Ach ja, falls jemand lieber alles haben will, also bevor ich schon paare weggekürzt hab, sagt bescheid, ich kann die blätter gern einscannen.
So, es geht aber gleich noch weiter.
Und zwar hat mir mein mathelehrer dankbarerweise, nachdem ich schon stunden über dieser komischen rechnung gesessen war, - gesagt, man kann diese längentreue auch auf andere weise zeigen.
Und zwar sollte ich mir noch eigenvektoren und eigenwerte anschaun.
Das problem ist, ich weiß zwar mittlerweile, wie ich eigenvektoren und werte auszurechnen hab, aber ich weiß noch nicht, was es bedeutet.
Dieser folgende teil gehört nicht unbedingt in diesen thread, aber ich muss das verstanden haben um meine frage danach stellen zu können
Also ich hab von der drehmatrix um die z-achse (alles im [mm] r^3) [/mm] um 60° den eigenwert [mm] \lambda [/mm] = 1 ausgerechnet.
Es war (1 - [mm] \lambda) [/mm] * [mm] (\lambda^2 [/mm] [mm] 2\lambda [/mm] cos + 1).
müsste also eine 2fache nullstelle sein. Meiner meinung nach müsste dann der zugehörige eigenwert
v= (0/0/c) sein. Da ich ne 2fache nullstelle hab, muss ich mir doch dann einfach nur 2 beliebige vektoren aussuchen und was für c einsetzen.oder?
ok
.aber was genau bedeuten jetzt diese eigenvektoren für die matrix?
Mein lehrer sagte sowas in die richtung:
Dieser eigenvektor mit der matrix multipiziert, wird ja wieder auf sich selbst abgebildet. Also muss es eine drehung sein. Und somit muss die determinante 1 sein (ich soll hiermit auch noch beweisen, dass die determinante der drehmatrix 1 sein muss
?!?!)
????
Und mit diesem ansatz soll ich auch noch beweisen, dass die drehung um eine allgemeine achse als drehachse längentreu ist. Dazu soll ich zeigen, dass die determinante 1 ist ( hab ich noch nicht gemacht, weil mir diese mörderrechnungen langsam zu Kopf steigen, aber ich denke, das sollte, im gegensatz zur anderen rechnung machbar sein ) und dann über die eigenwerte und eigenvektoren argumentieren, warum das längentreu ist.
Für mich war das alles nur spanisch
.mein lehrer hat auch gesagt, das ist für einen schüler etwas schwer zu verstehen und höhere mathematik. Aber ich soll schauen, ob ichs schaff. Würd ich auch gern. da ich aber noch nicht verstanden hab, was genau die bedeutung von eigenwerten und eigenvektoren ist, kapier ich das nicht
.das einzige, was ich weiß, ist, dass die eigenvektoren mit ihrer matrix multipliziert immer wieder das gleiche oder ein vielfaches ergeben
.
Vll will einer von euch mathelehrer werden und kann das so erklären, dass es eine schülerin wie ich versteht? Bin wie immer für jeden noch so kleinsten tipp dankbar!
Lg, eure kleene
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ok, dieses ewige rausgeürze is glaub ich einfach zu viel.
vll kann mir auch einfach nur jemand den unteren teil mit den eigenvektoren erklären? dann kann ich damit argumentieren und dann passt des auch.
hab zwar dann immer noch des problem, dass ich noch zeigen muss, dass die determinante 1 ist von der drehmatrix (das hab ich mittlerweile schon probiert, aber wie oben bleiben viel zu viele sachen übrig, die ich nicht kürzen kann...)
aber ich wär schonmal n schritt weiter!
lg
kleene
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 29.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Fr 30.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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