(Allg.) Beweis < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:13 Sa 01.12.2007 | | Autor: | engel |
Hallo!
Kann man eigentlich beweisen, ganz allgemein, dass wenn f(x) an der Stelle x0 ein Maximum hat, das dann auch f²(x) an dieser Stelle ein Maximum hat?
Das würde mich wirklich mal interessieren, auch wenne s kein Schulstoff ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:38 Sa 01.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo engel!
> Kann man eigentlich beweisen, ganz allgemein, dass wenn
> f(x) an der Stelle x0 ein Maximum hat, das dann auch f²(x)
> an dieser Stelle ein Maximum hat?
Ein Extremum, ja. Ob Maximum oder Minimum, hängt vom Vorzeichen von [mm]f(x_0)[/mm] ab.
Wenn f(x) ein Maximum hat, hat -f(x) ein Minimum und umgekehrt, aber andererseits ist das Quadrat beider Funktionen gleich: [mm](-f)^2(x)= =f^2(x)[/mm].
Beispiel:
[mm]f(x)=x^4-2*x^2-1[/mm] hat bei [mm]x_0=1[/mm] ein Maximum mit Funktionswert -1.
[mm]f^2(x)=(x^4-2*x^2-1)^2[/mm] hat ein Minimum.
Man kann's auch recht einfach formal nachrechnen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Sa 01.12.2007 | | Autor: | engel |
Hallo!
f(x) hat ein Maximum dann hat f²(x) an der gleichen stelle ein maximum.
f(x) = x²
f'(x) = 2x
Extremum bei x=0
f²(x) = [mm] x^4
[/mm]
f'(x) = 4x³
Extremum bei x=0
Habe ich das so beweisen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Sa 01.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, 1. [mm] x^2 [/mm] hat bei [mm] x^2 [/mm] kein Max sondern ein Min!
2. ein Beispiel ist kein Beweis:
sonst wäre richtig: alle ungeraden Zahlen sind Primzahlen 3,5,7 stimmt, noch zufällig ne grössere 37 stimmt auch. Beweis fertig.!
Deine Rechnung kann höchstens dich auf die Idee bringen, dass das richtig ist!
Beweis in Worten:
Wenn f(x) ein Max hat UND da einen positiven Wert, sind alle Werte daneben kleiner und auch positiv. dann hat [mm] f^2(x) [/mm] da auch ein Max, denn wenn ne Zahl>0 gilt dass die größere Zahl das grössere Quadrat hat.
Wenn f ein Max hatbei x1, und f(x1)<0, dann hat [mm] f^2(x) [/mm] ein Min, überlkeg selbst warum.
Beweis mit Rechnen:
[mm] (f^2(x))'=2f(x)*f'(x) [/mm] wenn f'(x)=0 folgt [mm] (f^2(x))'=0 [/mm] also auf jeden Fall hat [mm] f^2 [/mm] auch ne waagerechte Tangente!
Max: f''<0 [mm] (f^2(x))''=2f*f'' [/mm] +2f'^2 an der betrachteten Stelle x1 ist f'(x1)=0
also [mm] f^2(x1))''=2f(x1)f''(x1) [/mm] wenn f(x1)>0 hat [mm] f^2(x1))'' [/mm] dasselbe Vorzeichen wie f''(x1).
Gruss leduart
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