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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 So 09.11.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichung:
[mm] cos(2*arcsin(x))=1-2x^2 [/mm] |
Steh hier ein bisschen auf dem Schlauch.
[mm] arcsin=\bruch{\pi}{2}-arccos(x)
[/mm]
in der GLeichung eingesetzt:
[mm] cos(\pi-2*arccos(x))=1-2x^2
[/mm]
[mm] cos(\pi)*cos(2*arccos)+sin(\pi)*sin(2*arccos(x))=1-2x^2
[/mm]
[mm] sin(\pi)=0 [/mm] deshalb fällt der rechte term auf der linken seite der gleichung weg und ich bekomme:
[mm] -1*cos(2*arccos)=1-2x^2
[/mm]
*(-1)
[mm] cos(2*arccos(x))=2x^2-1
[/mm]
jetzt könnt ich noch schreiben
[mm] cos(arccos(x))*cos(arccos(x))-sin(arccos(x))*sin(arccos(x))=2x^2-1
[/mm]
[mm] x^2-sin^2(arccos(x))=2x^2-1
[/mm]
aber von hier komm ich durch weiteres umschreiben irgendwie nicht weiter....
Hat jemand ein Tip und habe ich bisjetzt alles richtig oder hatte ich hier falsche Ideen?
Danke und besten Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 So 09.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tedd!
Es geht viel einfacher und schneller ... wende auf die linke Seite der Gleichung folgendes Additionstheorem an:
[mm] $$\cos(2*z) [/mm] \ = \ [mm] 1-2*\sin^2(z)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Di 11.11.2008 | | Autor: | tedd |
Hey Loddar,
vielen Dank für die Antwort :)
Hatte vorher nicht erkannt, dass ich hier durch Substitution eines der Additionstheoreme anwenden kann. Das hilft natürlich sehr weiter :)
Als Lösung kommt dann
0=0
wodurch die Lösungsmenge
[mm] \IL=[-1;1] [/mm] (definitionsbereich von arcsin(x)) wird.
Danke und besten Gruß,
tedd
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