Algebraischer Abschluss von Q < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Do 01.08.2013 | | Autor: | jhx |
| Aufgabe | | Ist der algebraische Abschluss von [mm] $\mathbb{Q}$ $A=\{x\in\mathbb{C}; x $ ist algebraisch über $\mathbb{Q}\}$ [/mm] abzählbar? |
Hi, oben steht die Aufgabe. Meine Vermutung ist Ja, denn für jedes Algebraische Element existiert ein minimalpolynom. Also kann es höchstens soviele algebraische Elemente wie Polynome über [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] geben. Und das sind abzählbar viele. Richtig??
lg
jhx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Do 01.08.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Ist der algebraische Abschluss von [mm]\mathbb{Q}[/mm]
> [mm]A=\{x\in\mathbb{C}; x[/mm] ist algebraisch über [mm]\mathbb{Q}\}[/mm]
> abzählbar?
>
> Hi, oben steht die Aufgabe. Meine Vermutung ist Ja, denn
> für jedes Algebraische Element existiert ein
> minimalpolynom. Also kann es höchstens soviele
> algebraische Elemente wie Polynome über [mm]\mathbb{Q}[/mm] geben.
> Und das sind abzählbar viele. Richtig??
fast. Du musst noch beruecksichtigen, dass ein irreduzibles Polynom von Grad $n$ genau $n$ verschiedene Nullstellen hat. Somit gibt es weniger Minimalpolynome als algebraische Elemente.
LG Felix
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