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Hallo Leute!
Ich soll bei einer Aufgabe die algebraische bzw geometrische Vielfachheit der ermittelten Eigenwertes angeben.
So wie ich es aus Wikipedia verstanden habe, entspricht die algebraische Vielfachheit einfach nur die Anzahl der Nullstellen bei einem Eigenwert.
Z.B wenn beim Eigenwert [mm] \lambda_{1}=3 [/mm] eine doppelte Nullstelle rauskommt, so ist die algebraische Vielfachheit bei [mm] \lambda_{1} [/mm] gleich 2.
Das ist doch soweit richtig oder?
Wie ermittele ich aber nun die geometrische Vielfachheit
Gruß
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Hi,
> Hallo Leute!
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> Ich soll bei einer Aufgabe die algebraische bzw
> geometrische Vielfachheit der ermittelten Eigenwertes
> angeben.
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> So wie ich es aus Wikipedia verstanden habe, entspricht die
> algebraische Vielfachheit einfach nur die Anzahl der
> Nullstellen bei einem Eigenwert.
> Z.B wenn beim Eigenwert [mm]\lambda_{1}=3[/mm] eine doppelte
> Nullstelle rauskommt, so ist die algebraische Vielfachheit
> bei [mm]\lambda_{1}=2.[/mm]
> Das ist doch soweit richtig oder?
Du meinst das Richtige: Die Nullstelle [mm] \lambda [/mm] hat die Vielfachheit n, wenn der Faktor [mm] (X-\lambda) [/mm] genau n mal in der vollständigen Zerlegung des Polynoms (in X) auftaucht.
Vorsicht bei der Formulierung deiner Sätze. Am Ende steht bei dir unbeabsichtigt [mm] \lambda_1=2, [/mm] obwohl du meinst, dass die algebraische Vielfachheit 2 ist.
> Wie ermittele ich aber nun die geometrische Vielfachheit?
Das ist ein äquivalenter Begriff für die Dimension des Eigenraums zum jeweiligen Eigenwert. Wie du diese bestimmst, weißt du sicherlich.
Gruß
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Danke für die Hilfe!
Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes ist also die Anzahl seiner Linearunabhängigen Eigenvektoren. Richtig verstanden oder?
Bleiben wir dann mal bei dem Beispiel mit [mm] \lambda_{1,2}=3 [/mm] (doppelte Nullstelle).
Hier würde dann die geometrische Vielfachheit sowie die algebraische Vielfachheit 2 betragen; weil wir 2 linear unabhängige Eigenvektoren bei [mm] \lambda{1,2}=3 [/mm] haben.
Warum müssen nochmal diese beiden Eigenvektoren bei [mm] \lambda_{1,2} [/mm] linear unabhängig sein?
Gruß
Könn
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Hallo defjam123,
> Danke für die Hilfe!
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> Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes ist also
> die Anzahl seiner Linearunabhängigen Eigenvektoren.
> Richtig verstanden oder?
> Bleiben wir dann mal bei dem Beispiel mit [mm]\lambda_{1,2}=3[/mm]
> (doppelte Nullstelle).
> Hier würde dann die geometrische Vielfachheit sowie die
> algebraische Vielfachheit 2 betragen; weil wir 2 linear
Die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes 3
kann auch 1 sein
> unabhängige Eigenvektoren bei [mm]\lambda{1,2}=3[/mm] haben.
> Warum müssen nochmal diese beiden Eigenvektoren bei
> [mm]\lambda_{1,2}[/mm] linear unabhängig sein?
>
Weil sie sonst keine Basis zum Eigenraum bilden.
> Gruß
>
> Könn
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Gruss
MathePower
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