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| Aufgabe | Sei K ein Körper und K(X) der Körper der rationalen Funktionen mit Koeffizienten in K. Sei [mm] f=\bruch{X^3}{X^2+1}\in [/mm] K(x)
Zeigen Sie:
1) X algebraisch über K(f)
2) Die Körpererweiterung [mm] K(f)\subset [/mm] K(X) ist algebraisch
3) Berechne den Grad der Körpererweiterung aus 2) |
Hallo
Ich habe Probleme beim Lösen dieser Aufgabe.
Erstmal die Difinition von algebraisch:
[mm] \bruch{L}{K} [/mm] eine Körpererweiterung, [mm] a\in [/mm] L. Dann heißt a algebraisch über K, falls es ein P [mm] \in [/mm] K[x] [mm] \backslash [/mm] (0), sodass P(a)=0
Soweit so gut. Jetzt versuch ich mal, dies auf die Aufgabe zu übertragen:
K(X) ist der Erweiterungskörper und K(f) der Grundkörper. Wir müssen ein P [mm] \in [/mm] K(f) [mm] \backslash [/mm] (0) : P(X)=0
Ich versteh nicht so ganz, wie das Polynom jetzt auszusehen hat. K(f) ist ja [mm] \bruch{f^3}{f^2+1} [/mm]
Ich blick da nicht durch. Auf jeden Fall muss P(X)=0 gelten, d. h. X-X wäre ja 0, aber das liegt nicht in K(f)
Kann mir einer erklären, wie K(f) aussieht und ein paar Beispiel angeben?
Ich bedanke mich für jede Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Di 06.12.2011 | | Autor: | hippias |
> Ich habe Probleme beim Lösen dieser Aufgabe.
> Erstmal die Difinition von algebraisch:
> [mm]\bruch{L}{K}[/mm] eine Körpererweiterung, [mm]a\in[/mm] L. Dann heißt
> a algebraisch über K, falls es ein P [mm]\in[/mm] K[x] [mm]\backslash[/mm]
> (0), sodass P(a)=0
Richtig.
>
> Soweit so gut. Jetzt versuch ich mal, dies auf die Aufgabe
> zu übertragen:
> K(X) ist der Erweiterungskörper und K(f) der
> Grundkörper. Wir müssen ein P [mm]\in[/mm] K(f) [mm]\backslash[/mm] (0) :
> P(X)=0
Fast richtig: [mm] $P\in [/mm] K(f)[t]$ - ich nenne das transzendente Element hier $t$ und nicht $X$ oder so -, d.h. $P$ muss ein Polynom [mm] $\neq [/mm] 0$ mit Koeffizienten aus dem Koerper $K(f)$ sein, also kein Element des Grundkoerpers. Z.B. Ist [mm] $\frac{1}{f}t^{3}+ (f+1)t^{2}-2t+\frac{5}{f^{3}+1}$ [/mm] ein Polynom aus $K(f)[t]$ in $t$.
> Ich versteh nicht so ganz, wie das Polynom jetzt
> auszusehen hat. K(f) ist ja [mm]\bruch{f^3}{f^2+1}[/mm]
Das ist allenfalls $f(f)$.
>
> Ich blick da nicht durch. Auf jeden Fall muss P(X)=0
> gelten, d. h. X-X wäre ja 0, aber das liegt nicht in K(f)
>
> Kann mir einer erklären, wie K(f) aussieht und ein paar
> Beispiel angeben?
>
> Ich bedanke mich für jede Hilfe
>
> Gruß
> TheBozz-mismo
Wenn die Erlaeuterung nicht ausreicht: Die Gleichung von $f$ umstellen.
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Hallo und erstmal vielen Dank für deine Antwort.
Jedoch habe ich noch einige Fragen:
Du sagst, dass P(t):= [mm] \bruch{1}{f}*t^3+(f+1)*t^2-2t+\bruch{5}{f^3+1} [/mm] ein Element aus k(f)[t] ist. Erstmal ist mir völlig unklar, wie du darauf gekommen bist. Wenn ich jetzt X einsetzen würde, dann wäre das [mm] P(X)=\bruch{1}{f}X^3+(f+1)*X^2-2X+\bruch{5}{f^3+1}. [/mm] Was ist mit f? Ich mein, ich muss doch zeigen, dass P(X)=0 ist
Wenn ich die Gleichung umstelle, bekomme ich [mm] fX^2+f-X^3=0 [/mm] Muss ich jetzt ein f finden, damit die Gleichung erfüllt wird oder ein X?
Ich bin verwirrt...
Kann mir einer helfen?
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Di 06.12.2011 | | Autor: | hippias |
> Hallo und erstmal vielen Dank für deine Antwort.
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> Jedoch habe ich noch einige Fragen:
> Du sagst, dass P(t):=
> [mm]\bruch{1}{f}*t^3+(f+1)*t^2-2t+\bruch{5}{f^3+1}[/mm] ein Element
> aus k(f)[t] ist. Erstmal ist mir völlig unklar, wie du darauf gekommen bist.
Tut mir Leid: Das war ein x-beliebiges Beispiel ohne Bezug zu dem Polynom, das Du angeben musst.
> Wenn ich jetzt X einsetzen würde, dann wäre das [mm]P(X)=\bruch{1}{f}X^3+(f+1)*X^2-2X+\bruch{5}{f^3+1}.[/mm] Was ist mit f? Ich mein, ich muss doch zeigen, dass P(X)=0 ist
>
> Wenn ich die Gleichung umstelle, bekomme ich [mm]fX^2+f-X^3=0[/mm] Muss ich jetzt ein f finden, damit die Gleichung erfüllt wird oder ein X?
>
> Ich bin verwirrt...
Und ich behaupte, Du bist fertig  Du hast eine Summe von Potenzen von $X$, multipliziert mit Elementen des Koepers $K(f)$ (vergiss, dass $f$ selbst ein Polyxnom ist), die $0$ ergibt.
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> Kann mir einer helfen?
>
> Gruß
> TheBozz-mismo
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Danke für die Hilfe
gruß
TheBozz-mismo
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