Algebr. Gruppen / Permutation < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es bezeichne Sn die Menge der Permutationen auf {1,2, ..., n} und [mm] \circ [/mm] die Operation der Verkettung. Zeigen Sie, dass [mm] (Sn,\circ) [/mm] eine Gruppe bildet. Ist diese abelsch? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
also bei dieser Aufgabe ist mir klar, dass ich überprüfen muss ob die Menge assoziativ ist, ein neutrales und ein inverses Element existiert und somit eine Gruppe wäre. Zusätzlich noch ob sie kommutativ ist, was dann eine abelsche Gruppe wäre.
Nur weiß ich nicht wie ich das ganze bei einer Permutation überprüfen kann, da dies für mich irgendwie nicht greifbar ist.
Danke im Vorraus.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:14 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Fibonacci- |
Du erhälst somit [mm] (\IN,\circ)
[/mm]
[mm] \IN [/mm] ist ja gleich [mm] \{1,2,...,n\}
[/mm]
jetzt solltest du das A-Gesetz, Inverse (sofern möglich) usw. bestimmen.
Falls es keine Inverse geben sollte, ist es nicht abelsch, wie du es auch erwähnt hast.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Mo 12.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
die elemente der gruppen sind doch einfach abbildungen. das assoziativgesetz folgt einfach schon deshalb, weil es für abbildungen gilt. überleg dir nun, welche abbildung als neutrales element dienen kann, also für welches [mm] $\sigma \in S_n$ [/mm] gilt: [mm] $(\sigma \circ \tau)(k) [/mm] = [mm] \tau(k)$ [/mm] für alle [mm] $\tau \in S_n$ [/mm] und alle $k [mm] \in \{1, ..., n \}$.
[/mm]
falls du mit diesen ansätzen noch nicht so wirklich weiter kommst, kannst du ja mal [mm] $S_2$ [/mm] und [mm] $S_3$ [/mm] explizit berechnen, also alle bijektiven selbastabbildungen der mengen [mm] $\{1, 2 \}$ [/mm] beziehungsweise [mm] $\{1, 2, 3\}$ [/mm] (es sollten $2$ beziehungsweise $6$ stück sein), dann wird dir vielleicht einiges klarer und du siehst zumindest mal, wie das neutrale element aussehen muss.
wenn du mit diesen ansätzen nicht weiterkommst, kannst du dich ja dann nochmal mit fragen melden.
grüße
andreas
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