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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Do 01.11.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | [mm] v_0 \in [/mm] V
[mm] \tau_{v_0} [/mm] : V->V
[mm] \tau_{v_0} [/mm] (v) := v + [mm] v_0 [/mm] (Verschiebung um [mm] v_0) [/mm] affin |
Hallo
Meine Frage, wieso gilt [mm] \tau_{v_0 + v_1} [/mm] = [mm] \tau_{v_0} \circ \tau_{v_1} [/mm] = [mm] \tau_{v_1} \circ \tau_{v_0}
[/mm]
Also wenn ich um [mm] v_0 [/mm] + [mm] v_1 [/mm] translatiere ist es dasselbe wie wenn ich zuerst um [mm] v_0 [/mm] translatiere und dann um [mm] v_1 [/mm] bzw andersrum. Anschaulich ist mir das klar, aber wie zeigt man das mathematisch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Do 01.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum wendest du die eine fkt nicht einfach auf die andere an?
gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Do 01.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
zeige [mm] $\tau_{v_0+v_1}(v)=\tau_{v_0}\circ\tau_{v_1}(v)=\tau_{v_1}\circ\tau_{v_0}(v)$ [/mm] für alle [mm] $v\in [/mm] V$.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Do 01.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo sissile,
>
> zeige
> [mm]\tau_{v_0+v_1}(v)=\tau_{v_0}\circ\tau_{v_1}(v)=\tau_{v_1}\circ\tau_{v_0}(v)[/mm]
> für alle [mm]v\in V[/mm].
reicht's nicht
[mm] $$\tau_{v_0+v_1}(v)=(\tau_{v_0}\circ\tau_{v_1})(v)$$
[/mm]
für alle [mm]v\in V[/mm] zu zeigen?
Die (Vektor-)Addition ist ja eh kommutativ!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Do 01.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marcel,
> reicht's nicht
> [mm]\tau_{v_0+v_1}(v)=(\tau_{v_0}\circ\tau_{v_1})(v)[/mm]
> für alle [mm]v\in V[/mm] zu zeigen?
>
> Die (Vektor-)Addition ist ja eh kommutativ!
Natürlich.
(Ich wollte aus Einfachheitsgründen auf diese Symmetrieüberlegung verzichten und zeigen, wie man stumpf das zu Zeigende nachrechnen kann.)
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Do 01.11.2012 | | Autor: | sissile |
Okay ist nun klar.
Noch eine Frage dazu:
ZuZeigen [mm] :\tau_{-v_0} [/mm] = [mm] (\tau_{v_0})^{-1} [/mm]
[mm] \tau_{-v_0} [/mm] (v) = v - [mm] v_0 [/mm]
id= [mm] \tau_{v_0} \circ \tau_{- v_0 } [/mm] = [mm] \tau_{v_0} [/mm] ( v - [mm] v_0 [/mm] ) = [mm] v_0 [/mm] + v - [mm] v_0 [/mm] = v
-> Da Inverse eindeutig gilt: [mm] \tau_{-v_0} [/mm] = [mm] (\tau_{v_0})^{-1}
[/mm]
Passt das so?
Eine andere allgemeine Frage noch :
Wenn eine affine Abbildung invertierbar ist, ist dass der lineare Teil auch invertierbar, bzw. wie sieht man das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Do 01.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Noch eine Frage dazu:
> ZuZeigen [mm]:\tau_{-v_0}[/mm] = [mm](\tau_{v_0})^{-1}[/mm]
> [mm]\tau_{-v_0}[/mm] (v) = v - [mm]v_0[/mm]
Zu zeigen:
> id= [mm]\tau_{v_0} \circ \tau_{- v_0 }[/mm]
Es gilt für alle [mm] $v\in [/mm] V$: [mm] $\tau_{v_0}\circ\tau_{-v_0}(v)$
[/mm]
> = [mm]\tau_{v_0}[/mm] ( v - [mm]v_0[/mm]
> ) = [mm]v_0[/mm] + v - [mm]v_0[/mm] = v
$=id(v)$.
> -> Da Inverse eindeutig gilt: [mm]\tau_{-v_0}[/mm] =
> [mm](\tau_{v_0})^{-1}[/mm]
Warum genügt es, nur [mm] $\tau_{v_0}\circ\tau_{-v_0}=id$ [/mm] und nicht auch [mm] $\tau_{-v_0}\circ\tau_{v_0}=id$ [/mm] nachzuprüfen?
> Eine andere allgemeine Frage noch :
> Wenn eine affine Abbildung invertierbar ist, ist dass der
> lineare Teil auch invertierbar, bzw. wie sieht man das?
Ist eine affine Abbildung bei euch eine Abbildung [mm] $f\colon V\to [/mm] W$ zwischen $K$-Vektorräumen V und W, die
[mm] $f(v)=g(v)+w_0$
[/mm]
für alle [mm] $v\in [/mm] V$ für eine lineare Abbildung [mm] $g\colon V\to [/mm] W$ und einen Vektor [mm] $w_0\in [/mm] W$ erfüllt? Und die (eindeutig bestimmte) lineare Abbildung g heißt linearer Teil von f?
Zur Injektivität von g: Zu zeigen ist ker g=0.
Sei also [mm] $v\in [/mm] V$ mit $g(v)=0$. Zu zeigen ist v=0.
Zeige dazu f(v)=f(0) und wende die Injektivität von f an.
Zur Surjektivität von g: Sei [mm] $w\in [/mm] W$. Zu zeigen ist die Existenz eines [mm] $v\in [/mm] V$ mit g(v)=w.
Betrachte mal [mm] $v:=f^{-1}(w)-f^{-1}(0)$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Do 01.11.2012 | | Autor: | sissile |
> Warum genügt es, nur $ [mm] \tau_{v_0}\circ\tau_{-v_0}=id [/mm] $ und nicht auch $ [mm] \tau_{-v_0}\circ\tau_{v_0}=id [/mm] $ nachzuprüfen?
Weil jedes linksinverse auch ein rechtsinverses ist in einer assoziativen verknüpfung.
Die Injektivität ist mir nun klar.
Bei der Surjektivität bin ich leider mit deinen Hinweis nicht klar gekommen:
> Betrachte mal $ [mm] v:=f^{-1}(w)-f^{-1}(0) [/mm] $.
[mm] g(v)=g(f^{-1}(w)-f^{-1}(0))= g(f^{-1}(w)) [/mm] - [mm] g(f^{-1}(0))
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Do 01.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Warum genügt es, nur [mm]\tau_{v_0}\circ\tau_{-v_0}=id[/mm] und
> nicht auch [mm]\tau_{-v_0}\circ\tau_{v_0}=id[/mm] nachzuprüfen?
> Weil jedes linksinverse auch ein rechtsinverses ist in
> einer assoziativen verknüpfung.
Das stimmt so nicht. Wenn du möchtest, kann ich dir ein Gegenbeispiel nennen.
> Bei der Surjektivität bin ich leider mit deinen Hinweis
> nicht klar gekommen:
> > Betrachte mal [mm]v:=f^{-1}(w)-f^{-1}(0) [/mm].
> [mm]g(v)=g(f^{-1}(w)-f^{-1}(0))= g(f^{-1}(w))[/mm] - [mm]g(f^{-1}(0))[/mm]
Beachte [mm] $f(v')=g(v')+w_0$ [/mm] für alle [mm] $v'\in [/mm] V$. Also gilt jeweils [mm] $g(v')=f(v')-w_0$.
[/mm]
Du kannst also deine Gleichungskette fortsetzen mit:
[mm] $\ldots=(f(f^{-1}(w))-w_0)-(f(f^{-1}(0)) -w_0)=\ldots$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Do 01.11.2012 | | Autor: | sissile |
Ja danke, hab die Surjektivität nun hinbekommen.
> > Warum genügt es, nur $ [mm] \tau_{v_0}\circ\tau_{-v_0}=id [/mm] $ und
> nicht auch $ [mm] \tau_{-v_0}\circ\tau_{v_0}=id [/mm] $ nachzuprüfen?
> Weil jedes linksinverse auch ein rechtsinverses ist in
> einer assoziativen verknüpfung.
> Das stimmt so nicht. Wenn du möchtest, kann ich dir ein Gegenbeispiel nennen.
Okay ich dachte nur, da wir in der vorlesung von Gruppentheorie hatten, dass in einer Gruppe ein linksinverses auch immer ein rechtsinverses ist und umgekehrt.
Müsste man hier nun also beide richtungen überprüfen , oder wolltest du auf eine andere richtige Erklärung hinaus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Do 01.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > > Warum genügt es, nur [mm]\tau_{v_0}\circ\tau_{-v_0}=id[/mm] und
> > nicht auch [mm]\tau_{-v_0}\circ\tau_{v_0}=id[/mm] nachzuprüfen?
> > Weil jedes linksinverse auch ein rechtsinverses ist in
> > einer assoziativen verknüpfung.
>
> > Das stimmt so nicht. Wenn du möchtest, kann ich dir ein
> Gegenbeispiel nennen.
> Okay ich dachte nur, da wir in der vorlesung von
> Gruppentheorie hatten, dass in einer Gruppe ein
> linksinverses auch immer ein rechtsinverses ist und
> umgekehrt.
In Gruppen stimmt das auch.
> Müsste man hier nun also beide richtungen überprüfen ,
> oder wolltest du auf eine andere richtige Erklärung
> hinaus?
Man könnte z.B. wegen [mm] $-(-v_0)=v_0$ [/mm] mit einem Symmetrieargument arbeiten:
Wenn [mm] $\tau_{v_0}\circ\tau_{-v_0}=id$ [/mm] für alle [mm] $v_0\in [/mm] V$ nachgewiesen ist, so insbesondere für [mm] $-v_0\in [/mm] V$. Wir erhalten also
[mm] $\tau_{-v_0}\circ\tau_{v_0}=\tau_{-v_0}\circ\tau_{-(-v_0)}=id$.
[/mm]
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