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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Sa 22.10.2011 | | Autor: | Hugo20 |
| Aufgabe | Sei K Körper und V ein K-Verktorraum der Dimension 2. Sei [mm] \lambda \in [/mm] V* eine nichttriviale Abbildung V --> K. Sei nun P:=V und G [mm] \subset [/mm] Pot P die Menge aller Teilmengen M, für die d [mm] \in [/mm] K und [mm] \lambda \in [/mm] V* \ [mm] \{ 0 \} [/mm] existieren, sodass M = [mm] \{ v \in V | \lambda (v) = d \}.
[/mm]
Zeige: Das Paar (P,G) ist eine affine Ebende. |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser obigen Aufgabe. Mir ist klar, wie eine affine Ebene definiert ist. Unter anderem muss ja erfüllt sein, dass je zwei Punkte aus P genau eine Verbindungsgerade aus G haben. Starten wollte ich also, indem ich zunächst zeige: Für zwei beliebige Punkte v und w aus P gibt es genau ein M, das v und w enthält.
Mein Problem ist folgendes: Im Moment bin ich der Meinung, es geht gar nicht, dass eine solche Menge M überhaupt zwei verschiedene Punkte enthalten kann. Denn für diese beiden Punkte müsste ja dann für ein geeignetes Lambda gelten: [mm] \lambda [/mm] (v) = d und [mm] \lambda [/mm] (w) = d. Mit anderen Worten [mm] \lambda [/mm] (v) = [mm] \lambda [/mm] (w) . Somit wäre dieses Lambda nicht injektiv. Ich habe aber gedacht, K-lineare Abbildungen sind immer injektiv (außer die Nullabbildung). Meiner Meinung nach gibt es deshalb keine K-lineare Abbildung Lambda, die überhaupt in Frage kommt für die Menge M. Wo liegt der Fehler in meinem Gedankengang?
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Hallo Hugo!
Antwort siehe https://vorhilfe.de/read?i=829185
LG mathfunnel
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