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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 So 18.11.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Warum ist eine Abbildung [mm] \alpha [/mm] : V->W genau dann affin, wenn ihr Graph, [mm] G_{\alpha} :=\{ ( v, \alpha(v)): v \in V \}, [/mm] einen affinen Teilraum von V [mm] \times [/mm] W bildet? |
Wir haben das in einen Beweis verwendet, ich komme aber nicht drauf das zu beweisen bzw. zu verstehe warum das gilt.
Habt ihr da eine Idee oder einen goldenen Tipp??
[mm] \alpha [/mm] heiißt affin falls glt
[mm] \forall \lambda_i \in \IK \forall v_i \in [/mm] V : [mm] \sum_{i=1}^n \lambda_i [/mm] =1
=> [mm] \alpha (\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \lambda_i \alpha (v_i)
[/mm]
also mit Konvexkombinationen verträglich.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 So 18.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Warum ist eine Abbildung [mm]\alpha[/mm] : V->W genau dann affin,
> wenn ihr Graph, [mm]G_{\alpha} :=\{ ( v, \alpha(v)): v \in V \},[/mm]
> einen affinen Teilraum von V [mm]\times[/mm] W bildet?
> Wir haben das in einen Beweis verwendet, ich komme aber
> nicht drauf das zu beweisen bzw. zu verstehe warum das
> gilt.
> Habt ihr da eine Idee oder einen goldenen Tipp??
[mm] \alpha [/mm] ist affin [mm] \gdw [/mm] es gibt ein [mm] w_0 \in [/mm] W und eine lineare Abb. [mm] \beta [/mm] :V [mm] \to [/mm] W mit:
[mm] \alpha(v)=\beta(v)+w_0
[/mm]
FRED
>
> [mm]\alpha[/mm] heiißt affin falls glt
> [mm]\forall \lambda_i \in \IK \forall v_i \in[/mm] V : [mm]\sum_{i=1}^n \lambda_i[/mm]
> =1
> => [mm]\alpha (\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i)[/mm] = [mm]\sum_{i=1}^n \lambda_i \alpha (v_i)[/mm]
>
> also mit Konvexkombinationen verträglich.
> Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 So 18.11.2012 | | Autor: | sissile |
Ja das hatten wir in der Vorlesung gezeigt.
[mm] G_\alpha [/mm] = [mm] \{ (v, \beta(v)+w_0 ) : v \in V \}
[/mm]
ZZ.: [mm] G_\alpha [/mm] affiner teilraum von V [mm] \times [/mm] W
ZZ.: wenn für alle (a,b) [mm] \in G_\alpha [/mm] und [mm] \lambda_i \in \IK [/mm] mit [mm] \sum_{i=1}^k \lambda_i [/mm] =1 auch [mm] \sum_{i=1}^k (\lambda_i [/mm] a, [mm] \lambda_i [/mm] b) [mm] \in G_\alpha.
[/mm]
Ist das so gemeint...Ich glaube ich verstehe die Aussage falsch.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:44 Mo 19.11.2012 | | Autor: | sissile |
Ich wollte nochmal gerne auf das Bsp hinweisen-da ich es gern verstehen wuerde;) liebe Grüße, danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:34 Mo 19.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Siehe andere Antwort.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 Mo 19.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> [mm]G_\alpha[/mm] = [mm]\{ (v, \beta(v)+w_0 ) : v \in V \}[/mm]
> ZZ.:
> [mm]G_\alpha[/mm] affiner teilraum von V [mm]\times[/mm] W
O.K., du bist also gerade bei der Hin-Richtung.
Es gilt [mm] $G_\alpha=\{ (v, \beta(v)+w_0 ) : v \in V \}=\underbrace{\{(v,\beta(v)):v\in V\}}_{=:U}+w_0$.
[/mm]
Es genügt also zu zeigen, dass U ein Untervektorraum von [mm] $V\times [/mm] W$ ist.
Alternativ:
> ZZ.: wenn für alle (a,b) [mm]\in G_\alpha[/mm] und [mm]\lambda_i \in \IK[/mm]
> mit [mm]\sum_{i=1}^k \lambda_i[/mm] =1 auch [mm]\sum_{i=1}^k (\lambda_i[/mm]
> a, [mm]\lambda_i[/mm] b) [mm]\in G_\alpha.[/mm]
Für [mm] $(a_i,b_i)\in G_\alpha$ [/mm] für [mm] $i=1,\ldots,k$ [/mm] und [mm] $\lambda_i\in\IK$ [/mm] mit [mm] $\sum_{i=1}^k\lambda_i=1$ [/mm] ist [mm] $\underbrace{\sum_{i=1}^k\lambda_i(a_i,b_i)}_{=(\sum_{i=1}^k\lambda_ia_i,\sum_{i=1}^k\lambda_ib_i)}\in G_\alpha$ [/mm] zu zeigen.
Es ist für beide Richtungen nützlich, sich einmal genau zu überlegen, wann für Vektoren [mm] $v\in [/mm] V$ und [mm] $w\in [/mm] V$ jeweils [mm] $(v,w)\in G_\alpha$ [/mm] gilt.
Zeige: Dies ist genau dann der Fall, wenn [mm] $w=\alpha(v)$.
[/mm]
[mm] $(a_i,b_i)\in G_\alpha$ [/mm] bedeutet also nichts anderes als ...
Für [mm] $(\sum_{i=1}^k\lambda_ia_i,\sum_{i=1}^k\lambda_ib_i)\in G_\alpha$ [/mm] ist nichts anderes als ... zu zeigen.
Für die Rück-Richtung würde ich mit der Definition von [mm] $\alpha$ [/mm] affin arbeiten, nicht mit der von Fred genannten Charakterisierung.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mo 19.11.2012 | | Autor: | sissile |
Vielen Dank => habe ich so hinbekommen.
<= habe ich nun so gemacht:
Graph der Funktion [mm] \alpha [/mm] :
[mm] G_\alpha [/mm] = [mm] \{ (v , \phi(v)): v \in V \} [/mm] + (0,w)
ist affine Teilraum von V [mm] \times [/mm] W
Es folgt [mm] G_\phi:= [/mm] { (v , [mm] \phi(v)): [/mm] v [mm] \in [/mm] V [mm] \} [/mm] ist Graph einer linearen Funktion.
Da:
[mm] G_\phi [/mm] eine Teilraum: ( v , [mm] \phi(v)) [/mm] + (w, [mm] \phi(w))=(v+w, \phi(v) [/mm] + [mm] \ph(w)) \in G_\phi
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] (v, [mm] \phi(v)) [/mm] = [mm] (\lambda [/mm] v , [mm] \lambda \phi(v))
[/mm]
=> [mm] \phi(v+w) [/mm] = [mm] \phi(v) \phi(w)
[/mm]
=> [mm] \phi(\lambda [/mm] v) = [mm] \lambda \phi(v)
[/mm]
Also [mm] \alpha [/mm] = [mm] \phi [/mm] + w und [mm] \phi [/mm] lineare abb
=> [mm] \alpha [/mm] affin
Was sagst du dazu>?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Mo 19.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> <= habe ich nun so gemacht:
> Graph der Funktion [mm]\alpha[/mm] :
> [mm]G_\alpha[/mm] = [mm]\{ (v , \phi(v)): v \in V \}[/mm] + (0,w)
> ist affine Teilraum von V [mm]\times[/mm] W
Wo kommt auf einmal [mm] $\phi$ [/mm] her? Du willst doch gerade erst zeigen, dass es eine lineare Abbildung [mm] $\phi$ [/mm] und ein [mm] $w_0\in [/mm] W$ gibt mit [mm] $\alpha=\phi+w_0$.
[/mm]
Um deine Argumentation zu retten:
Es ist [mm] $(0,\alpha(0))\in G_\alpha$ [/mm] und somit, da [mm] $G_\alpha$ [/mm] affin ist: [mm] $G_\alpha=V_{G_\alpha}+(0,\alpha(0))$, [/mm] wobei [mm] $V_{G_\alpha}\subseteq V\times [/mm] W$ den zu [mm] $G_\alpha$ [/mm] gehörigen linearen Teilraum bezeichne.
Also [mm] $V_{G_\alpha}=G_{\alpha}-(0,\alpha(0))=\{(v,\alpha(v)-\alpha(0))\;|\;v\in V\}$.
[/mm]
Somit ist [mm] $V_{G_\alpha}$ [/mm] der Graph der Abbildung [mm] $\phi\colon V\to W,\;\phi(v):=\alpha(v)-\alpha(0)$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mo 19.11.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo
Entschuldigung, da habe ich mich beim Beweis sehr vertan.
Jetzt hast du beide Richtungen gelöst .. Tut mir leid ;) Aber ich hoffe man hat gemerkt, dass schon Initiative von meiner Seite da war.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:14 Di 20.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Entschuldigung, da habe ich mich beim Beweis sehr vertan.
> Jetzt hast du beide Richtungen gelöst ..
Nein, keine der Richtungen habe ich hier vollständig gelöst.
Für die Rück-Richtung benötigst du noch die Linearität von [mm] $\phi$ [/mm] (sowie [mm] $\alpha=\phi+\alpha(0)$). [/mm] Und das Vorgehen dazu hast du ja schon präsentiert.
> Tut mir leid ;)
Keine Ursache!
> Aber ich hoffe man hat gemerkt, dass schon Initiative von
> meiner Seite da war.
Absolut!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:34 Di 27.11.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo nochmal. Ich bin im Stress jetzt erst nochmal kurz zum Bsp gekommen.
Vollständig
<=
Es ist (0, [mm] \alpha(0)) \in G_\alpha [/mm] , da [mm] G_\alpha [/mm] affin [mm] :G_\alpha [/mm] = [mm] V_{G_\alpha} [/mm] + (0, [mm] \alpha(0)) [/mm] wobei [mm] V_{G_\alpha} \subseteq [/mm] V [mm] \times [/mm] W zu [mm] G_\alpha [/mm] gehörige lineare Teilraum.
[mm] V_{G_\alpha} [/mm] = [mm] G_\alpha [/mm] - (0, [mm] \alpha(0)) [/mm] = [mm] \{ v , \alpha (v) - \alpha(0)) | v \in V \}.
[/mm]
-> [mm] V_{G_\alpha} [/mm] Graph der Abbildung [mm] \phi: [/mm] V-> W , [mm] \phi(v) [/mm] = [mm] \alpha(v) [/mm] - [mm] \alpha(0)
[/mm]
[mm] V_{G_\alpha} [/mm] Graph einer lin. Abbildung da
[mm] V_{G_\alpha} [/mm] ein Teilraum ist : ( v, [mm] \phi(v)) [/mm] + (w, [mm] \phi(w)) [/mm] = (v+w, [mm] \phi(v) [/mm] + [mm] \phi(w)) \in V_{G_\alpha}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] ( v , [mm] \phi(v)) [/mm] = [mm] (\lambda [/mm] v , [mm] \lambda \phi(v)) \in V_{G_\alpha}
[/mm]
=> [mm] \phi [/mm] linear
ALso [mm] \alpha= \phi [/mm] + [mm] \alpha(0)
[/mm]
wobei [mm] \phi [/mm] wie gezeigt linear ist.
Passts=?
Oder würdest du noch wo mehr erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Di 27.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> <=
> Es ist (0, [mm]\alpha(0)) \in G_\alpha[/mm] , da [mm]G_\alpha[/mm] affin
> [mm]:G_\alpha[/mm] = [mm]V_{G_\alpha}[/mm] + (0, [mm]\alpha(0))[/mm] wobei
> [mm]V_{G_\alpha} \subseteq[/mm] V [mm]\times[/mm] W zu [mm]G_\alpha[/mm] gehörige
> lineare Teilraum.
> [mm]V_{G_\alpha}[/mm] = [mm]G_\alpha[/mm] - (0, [mm]\alpha(0))[/mm] = [mm]\{ v , \alpha (v) - \alpha(0)) | v \in V \}.[/mm]
>
> -> [mm]V_{G_\alpha}[/mm] Graph der Abbildung [mm]\phi:[/mm] V-> W , [mm]\phi(v)[/mm] =
> [mm]\alpha(v)[/mm] - [mm]\alpha(0)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]V_{G_\alpha}[/mm] Graph einer lin. Abbildung
(Besser: [mm] $\phi$ [/mm] ist linear.)
Seien [mm] $v,w\in [/mm] V$. Dann gilt [mm] $(v,\phi(v)),(w,\phi(w))\in V_{G_\alpha}$ [/mm] und daher,
> da [mm]V_{G_\alpha}[/mm] ein Teilraum ist : ( v, [mm]\phi(v))[/mm] + (w,
> [mm]\phi(w))[/mm] = (v+w, [mm]\phi(v)[/mm] + [mm]\phi(w)) \in V_{G_\alpha}[/mm]
Also existiert ein [mm] $u\in [/mm] V$ mit [mm] $(v+w,\phi(v)+\phi(w))=(u,\phi(u))$. [/mm] Es folgt $u=v+w$ und weiter [mm] $\phi(v)+\phi(w)=\phi(u)=\phi(v+w)$.
[/mm]
> [mm]\lambda[/mm] ( v , [mm]\phi(v))[/mm] = [mm](\lambda[/mm] v , [mm]\lambda \phi(v)) \in V_{G_\alpha}[/mm]
Hier sollte aus meiner Sicht genau wie oben mehr erklärt werden.
> => [mm]\phi[/mm] linear
>
> ALso [mm]\alpha= \phi[/mm] + [mm]\alpha(0)[/mm]
> wobei [mm]\phi[/mm] wie gezeigt linear ist.
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