Adjunktion einer Quadratwurzel < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei L/K eine Körpererweiterung vom Grad 2, wobei char [mm] K\neq [/mm] 2.
Zeigen Sie: [mm] \exists a\in [/mm] L mit [mm] a^{2}\in [/mm] K und L=K(a) |
Leider kann ich mit den vorkommenden Begriffen noch nicht so gut umgehen.
char [mm] K\neq [/mm] 2 heißt, dass [mm] 1+1\neq [/mm] 0 ist in K. Diese Bedingung sehe ich nur als eine Ausschließung etwaigiger Spezialfälle.
Der Grad einer Körpererweiterung ist ja definiert als die Dimension des Vektorraumes L über K. Die ist hier 2.
K(a) ist der kleinste Teilkörper von L, der K und das Element a enthält.
So. Jetzt habe ich einen Satz gefunden, der sagt, dass es für ein algebraisches Element [mm] a\in [/mm] L es genau ein Minimalpolynom in K[X] gibt und dieser Grad entspricht dem Grad der Körpererweiterung, also hier 2.
{Da [mm] a^{2}\in [/mm] K ist, hat das Polynom [mm] X^{2}-a^2 [/mm] den Wert a als Nullstelle und a ist also algebraisch über K}
Edit: Dieser Teil war Blödsinn. Ich muss ja erst zeigen, dass es ein solches a überhaupt gibt.
Nun komme ich aber nicht weiter, habt ihr einen Hinweis für mich?
LG und danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 Sa 20.10.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gegeben sei L/K eine Körpererweiterung vom Grad 2, wobei
> char [mm]K\neq[/mm] 2.
>
> Zeigen Sie: [mm]\exists a\in[/mm] L mit [mm]a^{2}\in[/mm] K und L=K(a)
>
> Leider kann ich mit den vorkommenden Begriffen noch nicht
> so gut umgehen.
>
> char [mm]K\neq[/mm] 2 heißt, dass [mm]1+1\neq[/mm] 0 ist in K. Diese
> Bedingung sehe ich nur als eine Ausschließung etwaigiger
> Spezialfälle.
Nun, der Spezialfall ist dass es kein solches Element $a$ gibt 
> Der Grad einer Körpererweiterung ist ja definiert als die
> Dimension des Vektorraumes L über K. Die ist hier 2.
>
> K(a) ist der kleinste Teilkörper von L, der K und das
> Element a enthält.
>
>
>
>
> So. Jetzt habe ich einen Satz gefunden, der sagt, dass es
> für ein algebraisches Element [mm]a\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
L es genau ein
> Minimalpolynom in K[X] gibt und dieser Grad entspricht dem
> Grad der Körpererweiterung, also hier 2.
>
> {Da [mm]a^{2}\in[/mm] K ist, hat das Polynom [mm]X^{2}-a^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
den Wert a
> als Nullstelle und a ist also algebraisch über K}
> Edit: Dieser Teil war Blödsinn. Ich muss ja erst zeigen,
> dass es ein solches a überhaupt gibt.
Genau.
> Nun komme ich aber nicht weiter, habt ihr einen Hinweis
> für mich?
Nun. Nimm irgendein Element $b \in L \setminus K$. Dann gilt $L = K(b)$ (warum?). Sei $X^2 + x X + y$ das Minimalpolynom von $b$ ueber $K$ (warum hat es Grad 2?).
Berechne jetzt das Minimalpolynom von $b + \lambda$ mit $\lambda \in K$. (Das kannst du ganz einfach bekommen; es muss ebenfalls Grad 2 haben.) Dann siehtst du sofort, wie du $\lambda$ waehlen musst, damit du $a := b + \lambda$ nehmen kannst.
LG Felix
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Mein Versuch:
Wenn ich [mm] b\in L\K [/mm] nehme, muss L=K(b) sein, denn:
L als Vektorraum über K hat Dimension 2. Also besteht eine maximal unabhängige Menge aus 2 Elementen. Ich nehme nun die Menge {b,c} für [mm] c\in [/mm] K beliebig her. Angenommen, [mm] k_{1}b+k_{2}c=0. [/mm] Da [mm] k_{2} [/mm] und c [mm] \in [/mm] K sind, ist auch [mm] k_{2}c \in [/mm] K, [mm] k_{1}b [/mm] kann aber nicht in K sein, denn aus [mm] k_{1}b=k_{3} [/mm] mit [mm] k_{3}\in [/mm] K würde folgen, dass [mm] b=k_{3}k_{1}^{-1}\in [/mm] K. Also müssen [mm] k_{1} [/mm] und [mm] k_{2} [/mm] beide gleich 0 sein. Somit bildet {b,c} eine Basis für L und daher lässt sich jedes [mm] l\in [/mm] L schreiben als [mm] l=k_{1}b+k_{2}c [/mm] für geeignete [mm] k_{1},k_{2}\in [/mm] K. Daher ist das Erzeugnis der Menge {K,b} auch L, da sich jedes [mm] l\in [/mm] L eben so darstellen lässt.
Da L=K(b), folgt [L:K]=[K(b):K]=2, und da b algebraisch über K ist, ist also der Grad seines Minimalpolynomes gleich 2.
Ich habe also gezeigt, dass [mm] \forall l\in L\K [/mm] gilt, dass L=K(l) und dass jedes [mm] l\in [/mm] L algebraisch über K ist. Jetzt muss ich also nur noch zeigen, dass es ein [mm] a\in [/mm] L gibt, sodass k in K liegt, richtig?
Jetzt habe ich also dieses Minimalpolynom [mm] X^{2}+xX+y [/mm] und ich weiß, dass b eine Nullstelle dieses Polynomes ist.
Bei dem Minimalpolynom von [mm] b+\lambda [/mm] bin ich ausgestiegen. Es muss auch Grad 2 haben (da es Element von L ist), aber wie bestimme ich es? Ich wollte mit dem Satz von Vietá vorgehen, aber was soll ich als zweite Lösung nehmen?
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moin,
> Mein Versuch:
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> Wenn ich [mm]b\in L\backslash K[/mm] nehme, muss L=K(b) sein, denn:
Gibt den [mm] $\backslash$ [/mm] bitte mit $\backslash$ ein, sonst wird das Zeichen dahinter gnadenlos verschluckt
> L als Vektorraum über K hat Dimension 2. Also besteht eine
> maximal unabhängige Menge aus 2 Elementen. Ich nehme nun
> die Menge {b,c} für [mm]c\in[/mm] K beliebig her. Angenommen,
> [mm]k_{1}b+k_{2}c=0.[/mm] Da [mm]k_{2}[/mm] und c [mm]\in[/mm] K sind, ist auch [mm]k_{2}c \in[/mm]
> K, [mm]k_{1}b[/mm] kann aber nicht in K sein, denn aus [mm]k_{1}b=k_{3}[/mm]
> mit [mm]k_{3}\in[/mm] K würde folgen, dass [mm]b=k_{3}k_{1}^{-1}\in[/mm] K.
Huch, du darfst auf einmal durch [mm] $k_1$ [/mm] dividieren?
Entweder ich habe da eine Annahme an das [mm] $k_1$ [/mm] verpasst oder du musst hier erstmal deutlich machen, wieso du mit [mm] $k_1 \neq [/mm] 0$ arbeitest.
> Also müssen [mm]k_{1}[/mm] und [mm]k_{2}[/mm] beide gleich 0 sein.
Stimmt, aber der Schritt geht doch etwas sehr schnell.
Da ich weiß wovon du sprichst ist das im Moment kein Problem; sollte das aber eine abzugebende Hausaufgabe sein würde ich das an deiner Stelle noch ein wenig weiter ausschmücken.
Somit
> bildet {b,c} eine Basis für L und daher lässt sich jedes
> [mm]l\in[/mm] L schreiben als [mm]l=k_{1}b+k_{2}c[/mm] für geeignete
> [mm]k_{1},k_{2}\in[/mm] K. Daher ist das Erzeugnis der Menge {K,b}
> auch L, da sich jedes [mm]l\in[/mm] L eben so darstellen lässt.
>
> Da L=K(b), folgt [L:K]=[K(b):K]=2, und da b algebraisch
> über K ist, ist also der Grad seines Minimalpolynomes
> gleich 2.
>
> Ich habe also gezeigt, dass [mm]\forall l\in L\backslash K[/mm] gilt, dass
> L=K(l) und dass jedes [mm]l\in[/mm] L algebraisch über K ist. Jetzt
> muss ich also nur noch zeigen, dass es ein [mm]a\in[/mm] L gibt,
> sodass k in K liegt, richtig?
Meinst du hier [mm] $a^2 \in [/mm] K$?
Wenn ja hast du Recht, das ist noch zu zeigen.
> Jetzt habe ich also dieses Minimalpolynom [mm]X^{2}+xX+y[/mm] und
> ich weiß, dass b eine Nullstelle dieses Polynomes ist.
>
> Bei dem Minimalpolynom von [mm]b+\lambda[/mm] bin ich ausgestiegen.
> Es muss auch Grad 2 haben (da es Element von L ist), aber
> wie bestimme ich es? Ich wollte mit dem Satz von Vietá
> vorgehen, aber was soll ich als zweite Lösung nehmen?
Hier ist es am besten ein wenig zu basteln.
Das Minimalpolynom von $b + [mm] \lambda$ [/mm] muss Grad 2 haben, also fangen wir an mit [mm] $(b+\lambda)^2 [/mm] = [mm] b^2 [/mm] + [mm] 2b\lambda [/mm] + [mm] \lambda^2$.
[/mm]
Nun ergänzen wir das ganze durch polynominielle Ausdrücke vom Grad höchstens 1, um alles auf 0 zu bringen; d.h. wir raten praktisch Schritt für Schritt das Minimalpolynom.
Als erstes stört das [mm] $b^2$.
[/mm]
Da wir allerdings das Minimalpolynom von $b$ kennen, können wir folgendes bilden:
[mm] $f_1 [/mm] = [mm] X^2 [/mm] + xX+y$.
Dann ist [mm] $f_1(b+\lambda) [/mm] = [mm] b^2 [/mm] + [mm] 2b\lambda [/mm] + [mm] \lambda^2 [/mm] + xb + [mm] x\lambda [/mm] + y = [mm] 2b\lambda [/mm] + [mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] x\lambda$.
[/mm]
Nun stört noch das [mm] $2b\lambda$.
[/mm]
Hierfür definieren wir uns als neues Polynom
[mm] $f_2 [/mm] = [mm] f_1 [/mm] - [mm] 2\lambda [/mm] X$.
Dann ist [mm] $f_2(b+\lambda) [/mm] = ...$
Wenn du das Spiel weiter treibst findest du nach nur wenigen Schritten ein normiertes Polynom zweiten Grades, das [mm] $b+\lambda$ [/mm] als Nullstelle hat; also das Minimalpolynom.
In diesem wird [mm] $\lambda$ [/mm] auftreten und du kannst [mm] $\lambda$ [/mm] dementsprechend so wählen, dass der lineare Term gerade wegfällt.
lg
Schadow
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Erstmals danke für diese wirklich tolle Antwort!
Zur linearen Unabhängigkeit: Stimmt, da sollte ich vielleicht noch dazu schreiben, dass [mm] c\neq [/mm] 0 sein soll. Wenn dann [mm] k_{1}=0 [/mm] gilt, folgt daraus wegen der Nullteilerfreiheit von K, dass [mm] k_{2} [/mm] auch 0 ist und die lineare Unabhängigkeit wurde gezeigt.
Zum Minimalpolynom: Ich komme auf das Minimalpolynom [mm] f(X)=X^{2}+(x-2\lambda)X+(y-\lambda x+\lambda^{2}).
[/mm]
Nur meine Frage: was hilft mir das? Wofür benötige ich das Minimalpolynom eines Wertes [mm] b+\lambda? [/mm] Hilft es mir etwas, das Polynom nach der Mitternachtsformel zu lösen?
Ich steh wirklich total auf der Leitung, tut mir leid...
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> Zum Minimalpolynom: Ich komme auf das Minimalpolynom
> [mm]f(X)=X^{2}+(x-2\lambda)X+(y-\lambda x+\lambda^{2}).[/mm]
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> Nur meine Frage: was hilft mir das? Wofür benötige ich
> das Minimalpolynom eines Wertes [mm]b+\lambda?[/mm] Hilft es mir
> etwas, das Polynom nach der Mitternachtsformel zu lösen?
> Ich steh wirklich total auf der Leitung, tut mir leid...
Du weißt, dass [mm] $b+\lambda \in L\backslash [/mm] K$ liegt für alle [mm] $\lambda \in [/mm] K$ (falls nicht zeige das nochmal kurz).
Nun weißt du überdies mit $f$ von oben: [mm] $f(b+\lambda) [/mm] = 0$.
Der konstante Faktor, also [mm] $y-\lambda x+\lambda^{2}$ [/mm] ist ein Element von $K$. Kannst du nun [mm] $\lambda \in [/mm] K$ so wählen, dass der lineare Faktor wegfällt, dass also $f = [mm] X^2 [/mm] + a$ für ein $a [mm] \in [/mm] K$?
Dann gilt nämlich [mm] $(b+\lambda)^2 [/mm] -a = 0$ und es ist $a [mm] \in [/mm] K$; überleg dir mal wieso du dann fertig bist.
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Aha. Ich wähle also [mm] \lambda=\frac{1}{2}x [/mm] (möglich, da char [mm] K\neq [/mm] 2).
Dann habe ich [mm] (b+\lambda)^{2}=a\in [/mm] K und damit gezeigt, dass [mm] (b+\lambda)^{2}\in [/mm] K ist, und [mm] (b+\lambda) [/mm] nicht.
Ausgezeichnet! Vielen Dank für die schnelle und guterklärende Hilfe! Vielen Dank!!
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Sa 20.10.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Wenn ich [mm]b\in L\backslash K[/mm] nehme, muss L=K(b) sein, denn:
>
> Gibt den [mm]\backslash[/mm] bitte mit [mm]\backslash[/mm] ein,
> sonst wird das Zeichen dahinter gnadenlos verschluckt
nimm lieber \setminus, das hat passendere Abstaende
LG Felix
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