Adjunkt. um Wurzeln galoissch? < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 So 22.02.2009 | | Autor: | koyLe |
| Aufgabe | Sei eine Kette von Körpern [mm] \IQ [/mm] = [mm] K_0 [/mm] < [mm] K_1 [/mm] < ... < [mm] K_n [/mm] = K < [mm] \IR [/mm] gegeben, wobei jeder Körper durch Adjunktion von einer Quadratwurzel aus dem Vorgängerkörper entsteht.
Ist die Körpererweiterung [mm] K/\IQ [/mm] galoissch? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich arbeite gerade etwas zur Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal aus und hänge gerade an diesem Gedankengang. Ich benötige keinen vollständigen Beweis, sondern wäre dankbar, wenn ihr mir sagen könntet, ob ich richtig liege. Nun zu meinen Gedanken:
Jede Körpererweiterung [mm]K_i / K_{i-1}[/mm] galoissch, weil sie Grad 2 hat.
Außerdem wird der Beweis sicher über Induktion laufen. Wenn ich also weiß, dass [mm]K_{i-1}/\IQ[/mm] bereits galoissch ist, müsste ich ja nur die Q-Automorphismen aus [mm]Gal(K_{i-1}/\IQ)[/mm] nehmen und fortsetzen auf [mm]K_i[/mm]. Dann habe ich Q-Automorphismen über [mm]K_i[/mm], die nur [mm]\IQ[/mm] als Fixkörper besitzen. Dann ist aber der Fixkörper von [mm]Fix(Gal(K_i/\IQ)) = \IQ[/mm] und damit die Erweiterung [mm]K_i / \IQ [/mm] galoissch.
Soweit erstmal richtig?
Wenn ja, dann besteht die Frage ja nur noch darin, ob man die Q-Automorphismen überhaupt auf dem nächsten Körper fortsetzen kann und wenn ja, wie? Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
Bin gespannt über euer Feedback. Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 So 22.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei eine Kette von Körpern [mm]\IQ[/mm] = [mm]K_0[/mm] < [mm]K_1[/mm] < ... < [mm]K_n[/mm] = K
> < [mm]\IR[/mm] gegeben, wobei jeder Körper durch Adjunktion von
> einer Quadratwurzel aus dem Vorgängerkörper entsteht.
> Ist die Körpererweiterung [mm]K/\IQ[/mm] galoissch?
>
> Ich arbeite gerade etwas zur Konstruierbarkeit mit Zirkel
> und Lineal aus und hänge gerade an diesem Gedankengang. Ich
> benötige keinen vollständigen Beweis, sondern wäre dankbar,
> wenn ihr mir sagen könntet, ob ich richtig liege. Nun zu
> meinen Gedanken:
>
> Jede Körpererweiterung [mm]K_i / K_{i-1}[/mm] galoissch, weil sie
> Grad 2 hat.
Da fehlt etwas ganz wichtiges: naemlich dass die Erweiterungen separabel sind.
> Außerdem wird der Beweis sicher über Induktion laufen. Wenn
> ich also weiß, dass [mm]K_{i-1}/\IQ[/mm] bereits galoissch ist,
> müsste ich ja nur die Q-Automorphismen aus [mm]Gal(K_{i-1}/\IQ)[/mm]
> nehmen und fortsetzen auf [mm]K_i[/mm]. Dann habe ich
> Q-Automorphismen über [mm]K_i[/mm], die nur [mm]\IQ[/mm] als Fixkörper
> besitzen.
Moment. Du weisst erstmal nur, dass der Fixkoerper nur Elemente aus [mm] $\IQ$ [/mm] und [mm] $K_i \setminus K_{i-1}$ [/mm] enthalten kann.
> Dann ist aber der Fixkörper von [mm]Fix(Gal(K_i/\IQ)) = \IQ[/mm]
Du musst noch zeigen, dass [mm] $K_i \setminus K_{i-1}$ [/mm] auch nicht im Fixkoerper liegt. (Das ist aber einfach, da [mm] $K_i [/mm] / [mm] K_{i-1}$ [/mm] galoissch ist -- weisst du warum das so ist?)
> und damit die Erweiterung [mm]K_i / \IQ[/mm] galoissch.
>
> Soweit erstmal richtig?
>
> Wenn ja, dann besteht die Frage ja nur noch darin, ob man
> die Q-Automorphismen überhaupt auf dem nächsten Körper
> fortsetzen kann und wenn ja, wie? Für einen Tipp wäre ich
> sehr dankbar.
Ja, das geht. Hattet ihr dazu keinen Satz in der Vorlesung? Das wuerde mich doch ziemlich wundern...
(Guck z.B. mal nach dem Beweis zur Eindeutigkeit des Zerfaellungskoerpers eines Polynoms. Dort wird ein Isomorphismus konstruiert, und mit genau dieser Methode kommst du hier auch weiter.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Mo 23.02.2009 | | Autor: | koyLe |
Erstmal danke für die Antwort! Ich muss sagen, dass ich gerade meinen Algebra-Hefter verliehen habe und mir somit das ganze etwas aus den Fingern ziehen muss. Macht ja aber auch mal Spaß ;)
> Da fehlt etwas ganz wichtiges: naemlich dass die Erweiterungen separabel sind.
Also ich habe den Begriff galoissch kennengelernt als algebraisch, normal und separabel. Also habe ich das mit eingeschlossen :)
Kommen wir erstmal kurz zur Fortsetzung. Du hast Recht, ich kann mich noch dunkel erinnern. Hier meine Idee:
Wir wissen, dass es ein [mm]\alpha[/mm] gibt, so dass [mm]K_i = K_{i-1}(\alpha)[/mm]. Nehmen wir uns also ein Element [mm]\phi[/mm] aus [mm]Gal(K_{i-1}/\IQ[/mm]. Diesen Isomorphismus können wir als Isomorphismus über dem Polynomring von [mm]K_{i-1}[/mm] formulieren (einfach auf die Koeffizienten drauf) und das ist wieder ein Isomorphismus. Dann wissen wir aber auch, dass [mm]K_i = K_{i-1}(\alpha) \cong K_{i-1}[X]/f(X)K_{i-1}[X][/mm], wobei f das Minimalpolynom von [mm]\alpha[/mm] ist. Ich kann das von f erzeugte Ideal mit seinem Bild identifizieren (wieder Ideal). Damit kann ich aber einen Isomorphismus auf dem Restklassenring [mm]K_{i-1}[X]/f(X)K_{i-1}[X][/mm] definieren (mithilfe von [mm]\phi[/mm]). Damit habe ich einen Isomorphismus über [mm]K_i[/mm]. Wenn ich nun im Restklassenring meinen Ausgangskörper [mm]K_{i-1}[/mm] herausidentifiziere, stelle ich fest, dass auf ihm das gleiche gemacht wird, wie ursprünglich [mm]\phi[/mm] agiert hat. Damit habe ich ne sinnvolle Fortsetzung.
Okay und nun noch zum letzten Argument.
> Moment. Du weisst erstmal nur, dass der Fixkoerper nur Elemente aus [mm]\IQ[/mm] und [mm]K_i \setminus K_{i-1}[/mm] enthalten kann.
Ja, stimmt. War ein etwas hastiger Gedankengang. Ich habe jetzt etwas hin und her probiert, tue mich aber irgendwie schwer damit...
Vielleicht kannst du mir erstmal sagen, ob obige Gedanken richtig sind und mir noch nen kleinen Anstoß geben für das letzte Ding :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:32 Di 24.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Erstmal danke für die Antwort! Ich muss sagen, dass ich
> gerade meinen Algebra-Hefter verliehen habe und mir somit
> das ganze etwas aus den Fingern ziehen muss. Macht ja aber
> auch mal Spaß ;)
Schoen :)
> > Da fehlt etwas ganz wichtiges: naemlich dass die
> > Erweiterungen separabel sind.
> Also ich habe den Begriff galoissch kennengelernt als
> algebraisch, normal und separabel. Also habe ich das mit
> eingeschlossen :)
Gut :)
> Kommen wir erstmal kurz zur Fortsetzung. Du hast Recht, ich
> kann mich noch dunkel erinnern. Hier meine Idee:
>
> Wir wissen, dass es ein [mm]\alpha[/mm] gibt, so dass [mm]K_i = K_{i-1}(\alpha)[/mm].
> Nehmen wir uns also ein Element [mm]\phi[/mm] aus [mm]Gal(K_{i-1}/\IQ[/mm].
> Diesen Isomorphismus können wir als Isomorphismus über dem
> Polynomring von [mm]K_{i-1}[/mm] formulieren (einfach auf die
> Koeffizienten drauf) und das ist wieder ein Isomorphismus.
Genau.
> Dann wissen wir aber auch, dass [mm]K_i = K_{i-1}(\alpha) \cong K_{i-1}[X]/f(X)K_{i-1}[X][/mm],
> wobei f das Minimalpolynom von [mm]\alpha[/mm] ist.
Ja.
> Ich kann das von
> f erzeugte Ideal mit seinem Bild identifizieren (wieder
> Ideal). Damit kann ich aber einen Isomorphismus auf dem
> Restklassenring [mm]K_{i-1}[X]/f(X)K_{i-1}[X][/mm] definieren
> (mithilfe von [mm]\phi[/mm]). Damit habe ich einen Isomorphismus
> über [mm]K_i[/mm]. Wenn ich nun im Restklassenring meinen
> Ausgangskörper [mm]K_{i-1}[/mm] herausidentifiziere, stelle ich
> fest, dass auf ihm das gleiche gemacht wird, wie
> ursprünglich [mm]\phi[/mm] agiert hat. Damit habe ich ne sinnvolle
> Fortsetzung.
Vorsicht! Das Herausidentifizieren ist nicht so leicht, wenn du nicht aufpasst bekommst du als Ergebnis die Identitaet. Nennen wir den Automorphismus von [mm] $K_{i-1}$ [/mm] mal [mm] $\sigma$ [/mm] und den auf [mm] $K_{i-1}[x]$ [/mm] induzierten mal [mm] $\sigma^*$. [/mm] Dann weisst du, dass [mm] $K_i \cong K_{i-1}[x] [/mm] / (f) [mm] \cong K_{i-1}[x] [/mm] / [mm] (\sigma^*(f))$ [/mm] ist, wobei der letzte Iso durch [mm] $\sigma^*$ [/mm] induziert wird und der davor auf [mm] $K_{i-1}$ [/mm] die Identitaet ist. Jetzt willst du wieder einen Isomorphismus [mm] $K_{i-1}[x] [/mm] / [mm] (\sigma^*(f)) \cong K_i$ [/mm] haben, der auf [mm] $K_{i-1}$ [/mm] die Identitaet ist. Aber hat [mm] $\sigma^*(f)$ [/mm] in [mm] $K_i$ [/mm] denn ebenfalls eine Nullstelle? Das hast du bisher nicht gezeigt.
Vielleicht solltest du anders vorgehen: nimm $f$ als das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$! [/mm] Dann ist [mm] $K_i$ [/mm] ein Zerfaellungskoerper von $f$ ueber [mm] $K_{i-1}$. [/mm] Betrachte nun eine Faktorisireung von $f$ ueber [mm] $K_{i-1}$: [/mm] diese muss mindestens einen quadratischen Faktor enthalten.
Nun kannst du $f$ ueber den Isomorphismus [mm] $\sigma^*$ [/mm] transportieren: das Ergebnis ist wieder $f$ (da die Koeffizienten von $f$ in [mm] $\IQ$ [/mm] liegen). Wenn du $f$ dort ebenfalls faktorisierst, bekommst du genau die gleiche Faktorisierung.
Wenn du also [mm] $\sigma^*$ [/mm] auf einen Faktor anwendest, bekommst du einen anderen Faktor. Einer dieser Faktoren ist nun das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] ueber [mm] $K_{i-1}$. [/mm] Nennen wir den Faktor [mm] $f_1$. [/mm] Dann ist [mm] $\sigma^*(f_1)$ [/mm] ebenfalls ein quadratischer irreduzibler Faktor von $f$, allerdings moeglicherweise ein anderer. Dieser hat jedoch in [mm] $K_i$ [/mm] ebenfalls eine Nullstelle, sagen wir [mm] $\alpha'$, [/mm] da [mm] $K_i$ [/mm] ein Zerfaellungskoerper von $f$ ist.
Jetzt konstruiere die Fortsetzung von [mm] $\sigma$ [/mm] auf [mm] $K_i$, [/mm] indem du [mm] $K_{i-1}$ [/mm] durch [mm] $\sigma$ [/mm] abbildest und [mm] $\alpha$ [/mm] auf [mm] $\alpha'$.
[/mm]
Damit bekommst du dann einen Automorphismus von [mm] $K_i$, [/mm] der [mm] $\sigma$ [/mm] fortsetzt.
> Okay und nun noch zum letzten Argument.
> > Moment. Du weisst erstmal nur, dass der Fixkoerper nur
> > Elemente aus [mm]\IQ[/mm] und [mm]K_i \setminus K_{i-1}[/mm] enthalten kann.
> Ja, stimmt. War ein etwas hastiger Gedankengang. Ich habe
> jetzt etwas hin und her probiert, tue mich aber irgendwie
> schwer damit...
Nun, nimm einen nicht-trivialen Automorphismus aus [mm] $Gal(K_i [/mm] / [mm] K_{i-1})$ [/mm] dazu: dessen Fixkoerper ist naemlich [mm] $K_{i-1}$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Di 24.02.2009 | | Autor: | koyLe |
> Nun, nimm einen nicht-trivialen Automorphismus aus [mm]Gal(K_i / K_{i-1})[/mm] dazu: dessen Fixkoerper ist naemlich [mm]K_{i-1}[/mm].
Aaach! Wie ärgerlich. Ja das war mir bewusst. Falls größerer Fixkörper dann wäre es ein echter Zwischenkörper, gibts aber nicht, da Grad 2. Aber ich brauch ja nicht mal die starke Aussage, dass jeder einzeln schon nur [mm]K_{i-1}[/mm] fix lassen kann, sondern reicht ja [mm]Gal(K_i/K_{i-1})[/mm] als Menge von Automorphismen.
Habe mich versteift, dass ich diese fortgesetzten Automorphismen nehme und von denen zeige, dass sie insgesamt nichts über [mm]K_{i-1}[/mm] fix lassen können. Aber das ist ja Quark.
Okay, ich habe eine Menge von Automorphismen - nämlich meine/deine oben fortgesetzten - die innerhalb [mm]K_{i-1}[/mm] nur [mm]\IQ[/mm] fix lassen.
Und eine andere Menge von Automorphismen - nämlich die aus [mm]Gal(K_i/K_{i-1}[/mm] - die oberhalb vom [mm]K_{i-1}[/mm] nichts fix lassen. Die sind aber auch in [mm]Gal(K_i/\IQ)[/mm].
Damit hab ichs. Man ist das ärgerlich ;)
Okay und den anderen Teil werde ich nachher mal in Ruhe durcharbeiten. Dickes Danke erstmal! Bist mir ne sehr große Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Di 24.02.2009 | | Autor: | koyLe |
Hey, also ich habe mir jetzt Gedanken um den Rest gemacht.
Hab deine Argumentation nachvollzogen und nochmal die wesentliche Erkenntnis draus ziehen wollen. Also was die ganze Technik am Ende bedeutet. Könnte man es folgendermaßen formulieren?
Aus dem Isomorphismus mit dem von f erzeugten Ideal wissen wir ja, dass unser neuer Körper von der Form [mm]a+\alpha b[/mm] ist, wobei [mm]a,b \in K_{i-1}[/mm]. Und nun bekommen wir ja mit, dass wir das ganze auch mit [mm]\alpha '[/mm] machen können. Denn es lässt f ebenfalls zerfallen. Und der Zerfällungskörper ist eindeutig. Außerdem verrät uns das Zwischendurch, dass wir die beiden Darstellungen von dem Körper durch einen Automorphismus verbinden können, indem wir a und b auf ihr Bild unter [mm]\sigma[/mm] schicken und [mm]\alpha[/mm] auf [mm]\alpha '[/mm].
Zumindest habe ich es mir so herausgearbeitet und versucht, mir alles zu begründen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:52 Mi 25.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Hey, also ich habe mir jetzt Gedanken um den Rest gemacht.
>
> Hab deine Argumentation nachvollzogen und nochmal die
> wesentliche Erkenntnis draus ziehen wollen. Also was die
> ganze Technik am Ende bedeutet.
Die ganze Technik ist nicht umbedingt sehr anschaulich, aber man braucht sie halt, da ansonsten der wichtige Schritt fehlt dass $f$ (als Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] ueber [mm] $K_{i-1}$) [/mm] auch nach Anwenden des Isomorphismus auf die Koeffizienten immer noch eine Nullstelle hat :)
> Könnte man es
> folgendermaßen formulieren?
>
> Aus dem Isomorphismus mit dem von f erzeugten Ideal wissen
> wir ja, dass unser neuer Körper von der Form [mm]a+\alpha b[/mm]
> ist, wobei [mm]a,b \in K_{i-1}[/mm]. Und nun bekommen wir ja mit,
> dass wir das ganze auch mit [mm]\alpha '[/mm] machen können. Denn es
> lässt f ebenfalls zerfallen. Und der Zerfällungskörper ist
> eindeutig.
Genau.
> Außerdem verrät uns das Zwischendurch, dass wir
> die beiden Darstellungen von dem Körper durch einen
> Automorphismus verbinden können, indem wir a und b auf ihr
> Bild unter [mm]\sigma[/mm] schicken und [mm]\alpha[/mm] auf [mm]\alpha '[/mm].
Exakt.
LG Felix
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