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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 So 31.05.2015 | | Autor: | Neutron |
| Aufgabe | Sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektrorraum mit f [mm] \in [/mm] L(V,V).
a) f sei nilpotent und selbstadjungiert. Zeigen sie, dass f = 0 ist.
b) V ist untär. Zeigen Sie, dass f genau dann selbstadjungiert ist, wenn <f(v),v> [mm] \in \IR [/mm] für alle v [mm] \in [/mm] V gilt. |
Hallo,
bin seit einigen Tagen am verzweifeln bei diesen Aufgaben. Was nilpotent und selbstadjungiert bedeutet und wie die Definitionen lauten ist mir klar, jedoch weis ich nicht wie ich diese anwenden soll. Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 So 31.05.2015 | | Autor: | hippias |
Zwei Tips zu a):
1. Selbstadjungierte Operatoren sind unitaer/orthogonal diagonalisierbar. Damit liefert die Nilpotenz $f=0$.
2. Angenommen es gibt [mm] $v\in Kernf^{2}\backslash [/mm] Kern f$. Leite nun mit Hilfe der Selbstadjungiertheit von $f$ her, dass $f(v)$ orthogonal zu sich selbst ist. Ist Dir klar, dass dies ein Widerspruch zur Annahme ist? Falls ja, dann wissen wir, dass $Kern [mm] f^{2}= [/mm] Kern f$ gilt. Nun nutze aus, dass $f$ nilpotent ist.
Und doch noch ein vager Tip zu b): rechne ein bisschen $v= u+iw$ herum.
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