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| Aufgabe | Es sei R [mm] \not= \{0\} [/mm] ein kommutativer Ring und A, B [mm] \in\ R^{nxn}, [/mm] wobei n [mm] \in\ \IN
[/mm]
a) Man zeige: Es gelten adj(AB) = adj(B)adj(A) und det(adj(A)) = [mm] det(A)^{n-1}.
[/mm]
b) Man zeige: Für A [mm] \in\ GL_n(R) [/mm] ist adj(A) [mm] \in\ GL_n(R) [/mm] mit [mm] adj(A^{-1}) [/mm] = [mm] adj(A)^{-1}.
[/mm]
Hinweis: [mm] GL_n(R) [/mm] = Menge der Invertierbaren Matrizen
c) Für n [mm] \ge [/mm] 2 zeige man: Es gilt adj(adj(A)) = [mm] det(A)^{n-2}*A. [/mm] |
Hallo,
ich habe leider große Schwierigkeiten die Aufgaben zu lösen, da ich noch garnicht genau weiß, was eine Adjunkte ist. Auch aus Wikipedia, etc. werde ich nicht viel schlauer.
Ich habe zu Aufgabe a) im Internet folgende Lösung gefunden:
adj(AB) = [mm] det(AB)(AB)^{-1} [/mm] = [mm] det(A)det(B)B^{-1}A^{-1}
[/mm]
= [mm] det(B)B^{-1}*det(A)A^{-1} [/mm] = adj(B)adj(A)
Allerdings geht man ja hierbei davon aus, dass AB eine Inverse besitzt.
Wäre für jede Hilfe sehr dankbar!
Viele Grüße,
Gratwanderer
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Die Adjunkte Matrix ist eine Definition. Wenn die man die Definition verwendet, kann man bei einer invertierbaren Matrix die Inverse, wie folgt berechnen:
[mm] $A^{-1}=\bruch{1}{det(A)}\tilde A=\bruch{1}{det(A)} [/mm] adj(A)$
Deswegen muss die Matrix A invertierbar sein. Allerdings wüsste ich auch nicht ohne der Eigenschaft der Invertierbarkeit diese Aussage zu beweisen. Hab es aber noch nicht nach Definition versucht.
Ich könnte dir ein Beispiel zum Verständnis der Adjunkten geben.
Die Definition gibt die einzelnen Einträge der Adjunkten an:
[mm]\tilde a_{ji} = (-1)^{j+i}\cdot M_{ji} = (-1)^{j+i}\cdot \begin{vmatrix}
a_{1,1} & \cdots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{j-1,1} & \cdots & a_{j-1,i-1} & a_{j-1,i+1} & \cdots & a_{j-1,n} \\
a_{j+1,1} & \cdots & a_{j+1,i-1} & a_{j+1,i+1} & \cdots & a_{j+1,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & \cdots & a_{n,i-1} & a_{n,i+1} & \cdots & a_{n,n}\end{vmatrix}[/mm]
[mm] $\tilde a_{ji} [/mm] $ ist der Eintrag an der Stelle i,j in der Adjunkten. Dieser Eintrag hat ein Vorzeichen [mm] $(-1)^{j+i}$ [/mm] und als Wert die Deteminante der Matrix [mm] $M_{ji}$, [/mm] welche die ursprüngliche Matrix ist, bei der die j-Zeile und i-Spalte vorher gestrichen wurde.
Beispiel:
$A:= [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }$
[/mm]
[mm] $\tilde [/mm] A= [mm] \pmat{ \tilde a_{11} & \tilde a_{12} \\ \tilde a_{21} & \tilde a_{22} }$ [/mm] und
[mm] $\tilde a_{11}= (-1)^{2}\cdot det(\tilde a_{22} [/mm] )=4$
[mm] $\tilde a_{21}= (-1)^{3}\cdot det(\tilde a_{12} [/mm] )=-2$
[mm] $\tilde a_{12}= (-1)^{3}\cdot det(\tilde a_{21} [/mm] )=-3$
[mm] $\tilde a_{22}= (-1)^{4}\cdot det(\tilde a_{11} [/mm] )=1$
Man sieht hier dann auch leicht
[mm] $A^{-1}=\bruch{1}{det(A)}\tilde [/mm] A$
Vorsicht! Es steht [mm] $\tilde a_{ji}$ [/mm] und nicht [mm] \tilde a_{ij} [/mm] .
zu b)
[mm] $(adj(A))^{-1}=(A^{-1}\cdot det(A))^{-1}=A\cdot det(A^{-1})=(A^{-1})^{-1}\cdot det(A^{-1})=adj(A^{-1})$
[/mm]
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Danke für deine Mühen, jetzt blicke ich schon etwas mehr durch. Bei Aufgabe c) finde ich jedoch leider überhaupt keinen passenden Ansatz. Muss man das per Induktion beweisen? Vielleicht könnte mir da noch jemand einen Denkanstoss geben?
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Ich setze jetzt also noch einmal zu c) voraus, das [mm] $A\in [/mm] GL(n,K)$ ist.
Dann kann ich aus den vorherigen Teilaufgaben, schlussfolgern:
[mm] $adj(adj(A))=det(adj(A))\cdot (adj(A))^{-1}$
[/mm]
nach a) gilt wg. $det(adj(A)) [mm] ={\color{red} det(A)^{n-1}}$
[/mm]
[mm] $adj(adj(A))={\color{red} det(A)^{n-1}}\cdot (adj(A))^{-1}$
[/mm]
nach b) [mm] $(adj(A))^{-1}={\color{red} (adj(A^{-1}))}$
[/mm]
[mm] $adj(adj(A))=det(A)^{n-1}\cdot {\color{red} (adj(A^{-1}))}$
[/mm]
desweiteren gilt ja [mm] $adj(A)=det(A)\cdot A^{-1}$ [/mm] also auch [mm] $adj(A^{-1})={\color{red} det(A^{-1})\cdot (A^{-1})^{-1}}$
[/mm]
[mm] $adj(adj(A))=det(A)^{n-1}\cdot {\color{red} det(A^{-1})\cdot (A^{-1})^{-1}}$
[/mm]
[mm] $\ldots=det(A)^{n-1}\cdot det(A)^{-1}\cdot (A^{-1})^{-1}$
[/mm]
[mm] $\ldots=det(A)^{n-2}\cdot (A^{-1})^{-1}$
[/mm]
[mm] $\ldots=det(A)^{n-2}\cdot [/mm] A$
Wenn du noch eine andere Lösung mit Hilfe der Definition findest, falls das geht, dann würde mich das auch interessieren. Da hier ja angenommen werden muss, dass A invertierbar ist.
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