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| Aufgabe | Geben Sie ein Beispiel, um zu zeigen, dass die Bedingung DN = ND in der Jordan-Zerlegung notwendig ist.
Finden Sie dazu eine Matrix x, die man als x = D + N schreiben kann (D diagonalisierbar und N nilpotent), jedoch keine Jordan-Zerlegung von x ist. |
Gut, ich habe ein Beispiel gefunden, wo das gilt:
x = [mm] \pmat{ 5 & -4 & -3 \\ -1 & 4 & 3 \\ 3 & -6 & -4 } [/mm] = [mm] \pmat{ 5 & -6 & -6 \\ -1 & 4 & 2 \\ 3 & -6 & -4 } [/mm] + [mm] \pmat{ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] = D + N
D ist dabei diagonalisierbar und N ist nipotent. Außerdem gilt DN [mm] \not= [/mm] ND.
Aber wie soll dieses Beispiel jetzt zeigen, dass die Kommutativität notwendig ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 Do 10.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Geben Sie ein Beispiel, um zu zeigen, dass die Bedingung DN
> = ND in der Jordan-Zerlegung notwendig ist.
Das ist etwas ungenau formuliert. Man koennte es z.B. so interpretieren, dass die Bedingung fuer die Eindeutigkeit der Zerlegung notwendig ist.
> Finden Sie dazu eine Matrix x, die man als x = D + N
> schreiben kann (D diagonalisierbar und N nilpotent), jedoch
> keine Jordan-Zerlegung von x ist.
Das hast du gezeigt:
> Gut, ich habe ein Beispiel gefunden, wo das gilt:
>
> x = [mm]\pmat{ 5 & -4 & -3 \\ -1 & 4 & 3 \\ 3 & -6 & -4 }[/mm] =
> [mm]\pmat{ 5 & -6 & -6 \\ -1 & 4 & 2 \\ 3 & -6 & -4 }[/mm] + [mm]\pmat{ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> = D + N
>
> D ist dabei diagonalisierbar und N ist nipotent. Außerdem
> gilt DN [mm]\not=[/mm] ND.
Damit hast du eine Zerlegung gefunden in eine Diagonalisierbare und eine nilpotente Matrix, die nicht die Jordan-Zerlegung ist (sonst muesste $D N = N D$ gelten).
> Aber wie soll dieses Beispiel jetzt zeigen, dass die
> Kommutativität notwendig ist?
Du hast mind. zwei Zerlegungen $x = D + N$ mit $D$ diagonalisierbar und $N$ nilpotent, womit die Zerlegung nicht eindeutig ist. Um sie eindeutig zu machen, muss man z.B. $D N = N D$ fordern.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Do 10.03.2011 | | Autor: | Chichisama |
> Du hast mind. zwei Zerlegungen [mm]x = D + N[/mm] mit [mm]D[/mm]
> diagonalisierbar und [mm]N[/mm] nilpotent, womit die Zerlegung nicht
> eindeutig ist. Um sie eindeutig zu machen, muss man z.B. [mm]D N = N D[/mm]
> fordern.
Danke dir, Felix! Jetzt ist es klar! Darauf hätte ich doch eigentlich selbst kommen können! Danke nochmal!
LG, Tine
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